几类不同增长的函数模型学习目标 1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.2.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一函数模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.1．先有实际问题，后有模型．(√)2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(√)3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>x2(a>1)．(×)类型一几类函数模型的增长差异例1(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝50x B．y＝x50C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N*)考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 C解析四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函数y＝2x－x2的大致图象为()考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A解析 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件．反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x .跟踪训练1 函数f (x )＝lg|x |x 2的大致图象为( )考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 D解析f(x)为偶函数，排除A，B.当x＞1时，y＝lg|x|＝lg x＞0，且增长速度小于y＝x2，所以当x→＋∞时，lg|x|x2→0且函数值为正数，故选D.类型二函数模型的增长差异在函数图象上的体现例2高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.反思与感悟一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表：跟踪训练2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 A类型三函数模型的应用命题角度1选择函数模型例3某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数考点建立函数模型解决实际问题题点对数函数模型的应用答案 D解析四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y 与x的关系．反思与感悟根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．跟踪训练3四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x考点建立函数模型解决实际问题题点指数函数模型的应用答案 D解析四个函数模型中，增长速度最快的为f4(x)＝2x.存在x0，当x>x0时，有2x>x2>4x>log2x.即时间足够长时，f4(x)路程最远．故选D.命题角度2用函数模型决策例4某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利． 反思与感悟 建立函数模型是为了预测和决策，预测过程就是依据模型研究相应性质，得到结论后再返回实际问题给出决策．跟踪训练4 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a 2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)，∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠.1．下列函数中随x 的增长而增长最快的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝2x考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A2．能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞) 考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 D3．某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( )A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃考点 建立函数模型解决实际问题题点 幂函数模型的应用答案 B4．下列选项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．①y ＝10×1.05x ；②y ＝20＋x 1.5；③y ＝30＋lg(x －1)；④y ＝50.考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案①5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是________．(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点．考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案④解析由图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快．又甲、乙的路程S取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点．1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．2．函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6D．y＝6x考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 B解析D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案 B解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系式为：P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( )A.12小时B.59小时 C ．5小时 D ．10小时考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题答案 C解析 由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，∴0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，∴－kt ＝ln 0.01，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01， ∴t ＝10，∴至少还需要过滤5小时才可以排放．6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案 B解析水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C 中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可知，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( )A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍 D ．ln 76倍考点 建立函数模型解决实际问题题点 对数函数模型的应用答案 B解析 由题意，令70＝10lg I 1I 0，则有I 1＝I 0×107. 同理得I 2＝I 0×106，所以I 1I 2＝10. 二、填空题9．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．考点 建立函数模型解决实际问题题点 建立函数模型解决实际问题答案 800解析 要使该厂不亏本，只需10x －y ≥0，即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800.10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg ，火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 考点 建立函数模型解决实际问题题点 对数函数模型的应用答案 e 6－1解析 由题意可知2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，从而M m ＝e 6－1. 11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)．答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎝ ⎛⎭⎪⎫36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400v ≥12，。