数 列 求 和 的 基 本 方 法
和 技 巧
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .
1、等差数列求和公式：
S n
n( a 1 a n )
na 1 n(n 1) d
2
2
na 1
( q 1) 2、等比数列求和公式： S n a 1 (1
q n ) a 1 a n q
1)
1 q 1 (q
q
n
3、 S n
k 1
k
1
n(n 1) 自然数列
2
4、 S n
n
k 2
1
n(n 1)(2n
1) 自然数平方 成的数列
k 1
6
[例1] 已知 log 3 x
1 ，求 x
x 2 x 3
x n
的前 n 和 .
log 2 3
解：由 log 3 x
1
log
3 x
log 3 2
x
1
log 2 3
2
由等比数列求和公式得 S n
x x 2 x 3 x n （利用常用公式）
1
1
＝ x(1
x n
) ＝ 2 (1 2n
)
＝1－ 1
1 x 1
1
2n
2
[例2] S n ＝ 1+2+3+⋯+n ， n ∈N *, 求 f (n)
(n
S n
的最大 .
32)S n
1
解：由等差数列求和公式得
S n
1
n(n 1)， S n
1
( n 1)(n 2) （利用常用公式）
2
2
∴
f ( n)
S n
＝
n 2
n
( n 32)S n 1
34n
64
＝
1
＝
1
1
64
8
2
50
n 34 ( n
) 50
n
n
∴当 n
8 ，即 n ＝ 8 ， f ( n) max 1
8
50
二、 位相减法求和
种方法是在推 等比数列的前
n 和公式 所用的方法， 种方法主要用于求数列
{a
· b } 的前 n 和，其中 {a } 、{b
} 分 是等差数列和等比数列 .
n
n
n n
[例3]求和： S
1
3x
5x 2 7 x 3
(2n 1)x n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
n
解：由 可知， { (2n 1)x n
1
} 的通 是等差数列 {2n －1} 的通 与等比数列 { x n 1 } 的通
之
xS n
1x 3x 2 5x 3 7x 4
(2n
1)x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . ②（ 制 位）
①－②得 (1 x) S n 1 2x
2x 2 2x 3 2x 4
2x n 1 (2n 1) x n （ 位相减 ）
再利用等比数列的求和公式得：
(1 x) S n
1 2x
1
x n 1 (2n
1) x n
1 x
∴ S n
(2n 1)x n
1
(2n 1) x n (1 x)
(1
x) 2
[例4]
2 4 6
2n
前 n 的和 .
求数列 2, 2 2 ,
2
3
, , 2n
,
解：由 可知， { 2n
} 的通 是等差数列 {2n} 的通 与等比数列 {
1
} 的通 之
2n 2n
S n 2 4 6 2n
2 2 3
n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
2 2 2
1 S n
2 4
6 2n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
（ 制 位）
2 2 2
23 24
2n 1
①－②得 (11
2 2
2
2 2 2n （ 位相减 ）
)S n
2 22
23
24 2
n 2
n 1
2
∴ S n
4
n 2
2
n
1
： * 提示：不要 得重复和无聊，乘公比 位相减的关 就是熟 ！ 通 {a n · b n },
1、an 是自然数列， bn 是首 1， q 2 的等比数列
2、an 是正偶数数列， bn 是首 1，q 2 的等比数列
3、an 是正奇数数列， bn 是首 1，q 2 的等比数列
4、an 是正偶数数列， bn 是首 3，q 3 的等比数列
5、an 是正奇数数列， bn 是首 3，q 3 的等比数列
6、an 是自然数列， bn 是首 3， q 3 的等比数列
三、分 法求和
有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将 数列适当拆开，可分 几个
等差、等比或常 的数列，然后分 求和，再将其合并即可
.
[ 例 5] 求数列的前 n 和： 1 1,
1
4,
1
7,,
1
3n 2 ，⋯
a
a 2 a n
1
解：设 S n(1 1)( 1
4)(
1
27)(
1
n 13n2)
a a a 将其每一项拆开再重新组合得
S n
111
(1 4 73n2) （分组）(1
a
2
a
n 1
)
a
当 a＝ 1 时，S n n(3n
21) n ＝ (3n
1)n
（分组求和）
2
11
(3n1)n a a1 n(3n1)n
当 a 1 时， S n
a n
＝
112a12 a
[ 例 6] 求数列 {n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和 .
解：设 a k k( k 1)(2k1)2k33k 2k
n n
∴ S n k (k 1)(2k1) ＝( 2k33k 2k )
k 1k 1
将其每一项拆开再重新组合得
n
k 3n k2n k
n＝ 23（分组）
S
k 1k1k1
＝ 2(1323n3 )3(1222n2 )(1 2n)
＝n2 (n 1)2n(n1)(2n1) n( n1)
（分组求和）222
＝n(n1) 2 ( n 2)
2
四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）a n111====》升级分母是 n(n+2) 呢？ --- 重点掌握这个型
n(n1) n n1
[例7]求数列
11
,,
1
,的前 n 项和 .
2
,
n
123n1
解：设 a n
1
n1n （裂项）n n 1
则 S n111（裂项求和）1223n n 1
＝ ( 21)(3 2 )( n 1n )＝n 1 1
[例8]在数列 {a n} 中，a n12n
，又 b n2，求数列 {b
n} 的前 n 项的
n 1 n 1n 1a
n
a
n 1
和.
解：∵ a n
12n n n1n1n 12
∴ b n
n 2
1
8(11) （裂项）n n n1
22
∴数列 {b n} 的前 n 项和
S n
1
)
111111
8[(1()()()] （裂项求和）
1) ＝8n22334n n 1
＝ 8(1
n1n1。