习题6-21. 求图6-21 中各画斜线部分的面积:(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ,解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e e e . (3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A . (4)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=⎰ππtdt . 346)22(122-=-=ππS A . (2)xy 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为 ⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A ba yb a y -===⎰ln ln ln ln3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3).过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6.两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解2y ⋅y '=2p .在点),2(p p 处, 1),2(=='p p y p y , 法线的斜率k =-1, 法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p x -=23. 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -. 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ;解:所求的面积为 ⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解所求的面积为⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.(3)ρ=2a (2+cos θ )解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰. 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(π π22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=.解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π. 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A .9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000,求得x 0=1, y 0=e , k =e .所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+-=-⎰⎰. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0. 因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为20300383822a x a dx ax A a a ===⎰.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解 所得旋转体的体积为 2002002224000x a x a axdx dx y V xx x ππππ====⎰⎰.12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x . 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为⎰⎰-=-⋅⋅=803280223282dy y dy x V y ππππ πππ56453328035=-=y . 13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解 由对称性, 所求旋转体的体积为dx x a dx y V a a ⎰⎰-==03323202)(22ππ 30234323234210532)33(2a dx x x a x a a a ππ=-+-=⎰. 14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π. 证明 ⎰⎰---==R H R RH R dy y R dy y x V )()(222ππ )3()31(232H R H y y R R H R -=-=-ππ.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V . (2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ⎰⎰⎰===102302202ch ch )(udu a au x dx ax a dx x y V a a πππ令 1022310223)21221(4)2(4u u u u e u e a du e e a ---+=++=⎰ππ )2sh 2(43+=a π. (3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ 24021601640π⎰=-=dx x . (4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2(⎰----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰.16. 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ⎰⎰------+=a a a a dy y a b dy y a b V 222222)()(ππ 2202228ππb a dy y a b a=-=⎰.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为y h a A A --, y hb B B --. 截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--. 于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ. 18. 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ),由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为 )(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.20. 利用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s .22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度.解 x x x y 31-=, x x y 2121-=',x x y 4121412+-=', )1(2112x x y +='+,所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2(, )36 ,2(-.所求弧长为⎰'+=21212dx y s .因为2)1(22-='x y y , yx y 2)1(-=', )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y . 所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s . 24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y y dy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y p y p p y 2222ln22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长. 解 用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ⎰'+'=2022)()(4π⎰⋅+-⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==⎰π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y -=. 计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度.解 由参数方程弧长公式⎰⎰+='+'=ππ022022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==⎰. 27. 在摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则⎰⎰+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==⎰.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a ta 2)2cos 1(40=-,解得320π=t , 因而分点的坐标为:横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ,纵坐标a a y 23)32cos 1(=-=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π.28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=ϕ的一段弧长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d s a a ⎰⎰+='+=022022)()()()()1(11202-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a . 29. 求曲线ρθ=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长.解 按极坐标公式可得所求的弧长 ⎰⎰-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=⎰θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.习题6-31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为182160260===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是 hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy y kMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMhk dy y kMm W h R R+⋅==⎰+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa ===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ, 所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为 xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为dxx x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=2223022cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN).(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为 x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF ra dF x -=, dF r ydF y =.2202222022)(1)(la a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0. θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF x θθμθθμd R Gm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰.引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点. 总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x . 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t , 所以 1212=-+x ,45=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积.解 ⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0),且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为94, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(102b a dx bx ax S +=+=⎰. 令9423=+b a , 得968a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=⎰ππ )]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π, 得35-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π 22224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令.6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长.解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-, )1 ,2(, 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=⎰ )32ln(6++=.7. 半径为r 的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功?解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时,球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x , 在水上上升的高度为r -x . 在水下对薄片所做的功为零, 在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22--=π,对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=--=⎰-. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为 dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为 )sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰. 9. 设星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为 ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=.设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, ⎰+⋅++⋅⋅=22222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, 所以)53 ,53(22Ga Ga =F .。