八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷(Word 版 含解析)一、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)1.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;(2)如图2,若点A 的坐标为()23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=12(EM-ON),证明见详解. 【解析】 【分析】(1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3- (3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON). 【详解】(1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°,△为等腰直角三角形,∵ABC∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,≅(AAS),∴AQC BOA∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)如图(2)作DP⊥OB于点P,∴∠BPD=90°,△是等腰直角三角形,∵ABD∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,≅∴AOB BPD∴AO=BP,∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,∵A ()23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. (3)()12EN EM ON =- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形,∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ≅, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.2.再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处,第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形,问题解决:(1)图③中AB=________(保留根号);(2)如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.(4)结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】(15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析:(1)由勾股定理计算即可;(2)根据菱形的判定方法即可判断;(3)根据黄金矩形的定义即可判断;(4)如图④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形.详解:(1)如图3中.在Rt△ABC中,AB22AC BC+2212+55(2)结论:四边形BADQ是菱形.理由如下:如图③中,∵四边形ACBF是矩形,∴BQ∥AD.∵AB∥DQ,∴四边形ABQD是平行四边形,由翻折可知:AB=AD,∴四边形ABQD是菱形.(3)如图④中,黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.∵AD=5.AN=AC=1,CD=AD﹣AC=5﹣1.∵BC=2,∴CDBC=51-,∴矩形BCDE是黄金矩形.∵MNDN=15+=51-,∴矩形MNDE是黄金矩形.(4)如图④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形.长GH51,宽HE=35点睛:本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考创新题目.3.已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求ABFACFSS的值.【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)2【解析】【分析】(1)①只要证明∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=60°即可解决问题;②只要证明△BFC≌△ADB,即可推出∠BFC=∠ADB=90°;(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.只要证明△ABK≌CAF,可得S△ABK=S△AFC,再证明AF=FK=BK,可得S△ABK=S△AFK,即可解决问题;【详解】(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt △BFD 中,∵∠FBD =30°, ∴BF =2DF , ∵BF =2AF , ∴BF =AD ,∵∠BAE =∠FBC ,AB =BC , ∴△BFC ≌△ADB , ∴∠BFC =∠ADB =90°, ∴BF ⊥CF(2)在BF 上截取BK =AF ,连接AK.∵∠BFE =∠2+∠BAF ,∠CFE =∠4+∠1, ∴∠CFB =∠2+∠4+∠BAC , ∵∠BFE =∠BAC =2∠EFC , ∴∠1+∠4=∠2+∠4 ∴∠1=∠2,∵AB =AC , ∴△ABK ≌CAF ,∴∠3=∠4,S △ABK =S △AFC ,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE =∠AKB ,∠BAC =2∠CEF , ∴∠KAF =∠1+∠3=∠AKF , ∴AF =FK =BK , ∴S △ABK =S △AFK ,∴ABFAFCS 2S ∆∆=. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是能够正确添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.4.问题探究:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.(1)证明:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.问题变式:(3)如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.(Ⅰ)请求出∠AEB的度数;(Ⅱ)判断线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见详解;(2)60°;(3)(Ⅰ)90°;(Ⅱ)AE=BE+2CM,理由见详解.【解析】【分析】(1)由条件△ACB和△DCE均为等边三角形,易证△ACD≌△BCE,从而得到对应边相等,即AD=BE;(2)根据△ACD≌△BCE,可得∠ADC=∠BEC,由点A,D,E在同一直线上,可求出∠ADC=120°,从而可以求出∠AEB的度数;(3)(Ⅰ)首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,据此判断出∠ACD=∠BCE;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ACD≌△BCE,即可判断出BE=AD,∠BEC=∠ADC,进而判断出∠AEB的度数为90°;(Ⅱ)根据DCE=90°,CD=CE,CM⊥DE,可得CM=DM=EM,所以DE=DM+EM=2CM,据此判断出AE=BE+2CM.【详解】解:(1)如图1,∵△ACB和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;(2)如图1,∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC,∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°,∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°;(3)(Ⅰ)如图2,∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∠CDE=∠CED=45°,∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=180-45=135°, ∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°, 故答案为:90°;(Ⅱ)如图2,∵∠DCE=90°,CD=CE ,CM ⊥DE , ∴CM=DM=EM , ∴DE=DM+EM=2CM , ∵△ACD ≌△BCE (已证), ∴BE=AD ,∴AE=AD+DE=BE+2CM , 故答案为:AE=BE+2CM . 【点睛】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定方法和性质,等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.5.如图,在平面直角坐标系中,点B 坐标为()6,0-,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点,设点P 的坐标为()0m ,.(1)点A 的坐标为___________;(2)当ABP △是等腰三角形时,求P 点的坐标;(3)如图2,过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ,连接OE ,若点A 关于直线OE 的对称点为A ',当点A '恰好落在直线PE 上时,BE =_____________.(直接写出答案) 【答案】(1)()0,8;(2)()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)425【解析】 【分析】(1)根据勾股定理可以求出AO 的长,则可得出A 的坐标; (2)分三种情况讨论等腰三角形的情况,得出点P 的坐标; (3)根据PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,得到EAGOPG ,利用点A ,A '关于直线OE 对称点,根据对称性,可证'OPG EAO ,可得'8OP OA ,82AP,设BE x =,则有6AEx ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE解之即可.【详解】AB=,解:(1)∵点B坐标为6,0,点A是y轴正半轴上一点,且10∴ABO是直角三角形,根据勾股定理有:2222AO AB BO,1068∴点A的坐标为()0,8;(2)∵ABP△是等腰三角形,当BP AB时,如图一所示:OP BP BO,∴1064∴P点的坐标是()4,0;=时,如图二所示:当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0;=时,如图三所示:当AP BP设OP x =,则有6AP x∴根据勾股定理有:222OP AO AP += 即:22286x x解之得:73x = ∴P 点的坐标是7,03; (3)当ABP △是钝角三角形时,点A '不存在;当ABP △是锐角三角形时,如图四示:连接'OA ,∵PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,∴AEG △和GOP 是直角三角形,EGA OGP ∴EAG OPG ,∵点A ,A '关于直线OE 对称点, 根据对称性,有'8OA OA ,'EAEA ∴'FAO FAO,'FAE FAE ∴'EAG EAO则有:'OPG EAO ∴'AOP 是等腰三角形,则有'8OP OA , ∴22228882AP AO OP ,设BE x =,则有6AEx ,根据勾股定理,有: 22222BP BE EP AP AE 即:2222688210x x 解之得:425BEx 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题,涉及的知识点有:解方程,等腰三角形的判定与性质,对称等知识点,能分类讨论,熟练运用各性质定理,是解题的关键.6.如图所示,已知ABC ∆中,10AB AC BC ===厘米,M 、N 分别从点A 、点B 同时出发,沿三角形的边运动,已知点M 的速度是1厘米/秒的速度,点N 的速度是2厘米/秒,当点N 第一次到达B 点时,M 、N 同时停止运动.(1)M 、N 同时运动几秒后,M 、N 两点重合?(2)M 、N 同时运动几秒后,可得等边三角形AMN ∆?(3)M 、N 在BC 边上运动时,能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆,如果存在,请求出此时M 、N 运动的时间?【答案】(1)10;(2)点M 、N 运动103秒后,可得到等边三角形AMN ∆;(3)当点M 、N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆,此时M 、N 运动的时间为403秒. 【解析】【分析】(1)设点M 、N 运动x 秒后,M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=;(2)设点M 、N 运动t 秒后,可得到等边三角形AMN ∆,如图①,1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-;(3)如图②,假设AMN ∆是等腰三角形,根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形,再证ACM ∆≌ABN ∆(AAS ),得CM BN =,设当点M 、N 在BC 边上运动时,M 、N 运动的时间y 秒时,AMN ∆是等腰三角形,故10CM y =-,302NB y =-,由CM NB =,得10302y y -=-;【详解】解:(1)设点M 、N 运动x 秒后,M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得:10x =(2)设点M 、N 运动t 秒后,可得到等边三角形AMN ∆,如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =- 解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后,可得到等边三角形AMN ∆. (3)当点M 、N 在BC 边上运动时,可以得到以MN 为底边的等腰三角形,由(1)知10秒时M 、N 两点重合,恰好在C 处,如图②,假设AMN ∆是等腰三角形,∴AN AM =,∴AMN ANM ∠=∠,∴AMC ANB ∠=∠,∵AB BC AC ==,∴ACB ∆是等边三角形,∴C B ∠=∠,在ACM ∆和ABN ∆中,∵AC AB C B AMC ANB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩,∴ACM ∆≌ABN ∆(AAS ),∴CM BN =,设当点M 、N 在BC 边上运动时,M 、N 运动的时间y 秒时,AMN ∆是等腰三角形, ∴10CM y =-,302NB y =-,CM NB =,10302y y -=- 解得:403y =,故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆,此时M 、N 运动的时间为403秒.【点睛】考核知识点:等边三角形判定和性质,全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.7.如图,在等边三角形ABC右侧作射线CP,∠ACP=α(0°<α<60°),点A关于射线CP 的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.(1)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示);(2)在α(0°<α<60°)的变化过程中,∠AEB的大小是否发生变化?如果发生变化,请直接写出变化的范围;如果不发生变化,请直接写出∠AEB的大小;(3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系,并证明.=︒-;(2)∠AEB的大小不会发生变化,且∠AEB=60°;(3)【答案】(1)∠DBC60αBD=2AE+CE,证明见解析.【解析】【分析】(1)如图1,连接CD,由轴对称的性质可得AC=DC,∠DCP=∠ACP=α,由△ABC是等边︒+,BC=DC,然后利用三角形的三角形可得AC=BC,∠ACB=60°,进一步即得∠BCD=602α内角和定理即可求出结果;(2)设AC、BD相交于点H,如图2,由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE,可得∠CAE=∠CDE,进而得∠DBC=∠CAE,然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA,即可作出判断;(3)如图3,在BD上取一点M,使得CM=CE,先利用三角形的外角性质得出=︒,进而得△CME是等边三角形,可得∠MCE=60°,ME=CE,然后利用角的和差∠BEC60关系可得∠BCM=∠DCE,再根据SAS证明△BCM≌△DCE,于是BM=DE,进一步即可得出线段AE ,BD ,CE 之间的数量关系.【详解】解:(1)如图1,连接CD ,∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ,∴AC=DC ,∠DCP =∠ACP =α,∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC ,∠ACB =60°,∴∠BCD =602α︒+,BC=DC ,∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-;(2)∠AEB 的大小不会发生变化,且∠AEB =60°.理由:设AC 、BD 相交于点H ,如图2,∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ,∴AC=DC ,AE=DE ,又∵CE=CE ,∴△ACE ≌△DCE (SSS ),∴∠CAE =∠CDE ,∵∠DBC =∠BDC ,∴∠DBC =∠CAE ,又∵∠BHC =∠AHE ,∴∠AEB =∠BCA =60°, 即∠AEB 的大小不会发生变化,且∠AEB =60°;(3)AE ,BD ,CE 之间的数量关系是:BD =2AE +CE .证明:如图3,在BD 上取一点M ,使得CM=CE ,∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒,∴△CME 是等边三角形,∴∠MCE =60°,ME=CE ,∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=,∴∠BCM =∠DCE ,又∵BC=DC ,CM=CE ,∴△BCM ≌△DCE (SAS ),∴BM=DE ,∵AE=DE ,∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识,熟练掌握并运用上述知识解题的关键.8.小明在学习了“等边三角形”后,激发了他的学习和探究的兴趣,就想考考他的朋友小崔,小明作了一个等边ABC ∆,如图1,并在边AC 上任意取了一点F (点F 不与点A 、点C 重合),过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ,延长CB 到G ,使得BG AF =,连接FG 交AB 于点l .(1)若10AC =,求HI 的长度;(2)如图2,延长BC 到D ,再延长BA 到E ,使得AE BD =,连接ED ,EC ,求证:ECD EDC ∠=∠.【答案】(1)HI =5;(2)见解析.【解析】【分析】(1)作FP ∥BC 交AB 于点P ,证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH , 再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ,于是可得HI =12AB ,即可求解; (2)延长BD 至Q ,使DQ=AB ,连结EQ ,就可以得出BE=BQ ,得出△BEQ 是等边三角形,就可以得出BE=QE ,得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论.【详解】解:如图1,作FP ∥BC 交AB 于点P ,∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥,∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中,PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5;(2)如图2,延长BD至Q,使DQ=AB,连结EQ,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠B=60°.∵AE=BD,DQ=AB,∴AE+AB=BD+DQ,∴BE=BQ.∵∠B=60°,∴△BEQ为等边三角形,∴∠B=∠Q=60°,BE=QE.∵DQ=AB,∴BC=DQ.∴在△BCE和△QDE中,BC DQB QBE QE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△QDE(SAS),∴EC=ED.∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键.本题难度较大,需要有较强的综合能力.9.(1)操作:如图,在已知内角度数的三个三角形中,请用直尺从某一顶点画一条线段,把原三角形分割成两个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数(2)拓展,△ABC中,AB=AC,∠A=45°,请把△ABC分割成三个等腰三角形,并在图中标注相应的角的度数.(3)思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP,△BPQ,△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠C所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可;(2)分别作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形,根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可;(3)分PB=PA、AB=AP、BA=BP时,PB=PQ、BP=BQ、QB=QP,PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况,根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】(1)在图1、图2、图3中,分别作AB、AB、BC的垂直平分线,如图1,∵∠ABC=23°,∠BAC=90°,∴∠C=90°-23°=67°,∵MN垂直平分AB,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形,∴∠BAD=∠ABC=23°,∴∠ADC=2∠ABC=46°,∵∠BAC=90°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°,∴∠DAC=∠C,∴△DAC是等腰三角形,同理:图2中,∠ADC=46°,∠DAC=88°,∠C=46°,△ABD和△ACD是等腰三角形,图3中,∠BCD=23°,∠ADC=46°,∠ACD=46°,△BCD和△ACD是等腰三角形.(2)作AB、BC的垂直平分线,交于点O,连接OA、OB、OC,∵点O是三角形垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形,∵AB=AC,∠BAC=45°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴AD是BC的垂直平分线,∴∠BAD=∠CAD=22.5°,∴∠OBA=∠OAB=22.5°,∠OCA=∠OAC=22.5°,∴∠OBC=∠OCB=45°.(3)①如图,当PB=PA,PB=PQ,PQ=CQ时,∵∠A=30°,PB=PQ,∴∠ABP=∠A=30°,∴∠APB=120°,∵PB=PQ,PQ=CQ,∴∠PQB=∠PBQ,∠C=∠CPQ,∴∠PBQ=2∠C,∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°,解得:∠C=40°.②如图,当PB=PA,PB=BQ,PQ=CQ时,∴∠PQB=2∠C,∠PQB=∠BPQ,∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C,∴180°-4∠C+∠C=120°,解得:∠C=20°,③如图,当PA=PB,BQ=PQ,CQ=CP时,∵∠PQC=2∠PBQ,∠PQC=12(180°-∠C),∴∠PBQ=14(180°-∠C),∴14(180°-∠C)+∠C=120°,解得:∠C=100°.④如图,当PA=PB,BQ=PQ,PQ=CP时,∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°,∴∠C=80°;⑤如图,当AB=AP,BP=BQ,PQ=QC时,∵∠A=30°,∴∠APB=12(180°-30°)=75°,∵BP=BQ,PQ=CQ,∴∠BPQ=∠BQP,∠QPC=∠QCP,∴∠BQP=2∠C,∴∠PBQ=180°-4∠C,∴∠C+180°-4∠C=75°,解得:∠C=35°.⑥如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QC时,∴∠PQC=2∠PBC,∠PQC=12(180°-∠C),∴∠PBC=14(180°-∠C),∴14(180°-∠C)+∠C=75°,解得:∠C=40°.⑦如图,当AB=AP,BQ=PQ,PC=QP时,∵∠C=∠PQC=2∠PBC,∠C+∠PQC=75°,∴∠C=50°;⑧当AB=AP,BP=PQ,PQ=CQ时,∵AB=BP,∠A=30°,∴∠ABP=∠APB=75°,又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C,且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°,∴3∠C=75°,∴∠C=25°;⑨当AB=BP,BP=PQ,PQ=CQ时,∵AB=BP,∴∠BPA=∠A=30°,∵∠PBQ=∠PQB=2∠C ,∴2∠C+∠C=30°,解得:∠C=10°.⑩当AB=BP ,BQ=PQ ,PQ=CQ 时,∴∠PQC=∠C=2∠PBQ ,∴12∠C+∠C=30°, 解得:∠C=20°.综上所述:∠C 所有可能的值为10°、20°、25°,35°、40°、50°、80°、100°. 【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.10.如图,在 ABC 中,已知 AB AC =,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AB 边上一动点,点 P 是 AD 上的一个动点.(1)若 37BAD ∠=,求 ACB ∠ 的度数;(2)若 6BC =,4AD =,5AB =,且 CE AB ⊥ 时,求 CE 的长;(3)在(2)的条件下,请直接写出 BP EP + 的最小值.【答案】(1)53ACB ∠=.(2)245CE =.(3) 245. 【解析】【分析】(1)由已知得出三角形ABC 是等腰三角形,ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线,有AD BC ⊥,求出ABC ∠的度数,即可得出ACB ∠的度数.(2)根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长(3)连接CP ,有BP=CP ,BP+EP=EP+CP ,当点E ,P ,C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值,即CE 的长度.【详解】解:(1)AB AC =,ACB ABC ∴∠=∠,AD 是 BC 边上的中线, 90ADB ∴∠=,37BAD ∠=,903753ABC ∴∠=-=,53ACB ∴∠=.(2)CE AB ⊥, 1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅, 6BC =,4=AD ,5AB =, 245CE ∴=. (3) 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”,三角形的面积公式等,充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.。