第7讲 三角函数概念及诱导公式【知识梳理】1.任意角：按逆时针旋转所成的角为正角，按顺时针旋转所成的角为负角.2．象限角:角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3．与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4．长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5．半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6．弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7．若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 8．设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠． 9．三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．11.同角的三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12．函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 【方法归纳】（1）在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.（2）弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制.（3）三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式.重视用数学定义解题.数形结合.充分利用单位圆中的三角函数线帮助解题；（4）利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即α+πt 2k 与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.等价变换.熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；【课堂训练】例1．（2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷）已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x M ,451802|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x N ,451804|那么两集合的关系是什么？ 解题思路：本试题主要考查角的概念答案：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒，则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k解得 36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或1-=k ，代回得︒-=675β或︒-=315β。

（2） 因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N.例题2（2010全国卷I 文数） (1)cos300︒=（ ）(A) (B)-12 (C)12(D) 解题思路：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=答案：选C 例题3（2010全国卷2文数）已知α是第二象限的角,1tan 2α=-，则cosα=__________.解题思路：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵1tan 2α=-，∴cos α=答案： 例题4. （北京卷第1题）已知0tan cos <θ•θ，那么角θ是( )A.第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角 解题思路：考查三角函数概念，⇒<θ=θθ•θ⇒<θ•θ0sin cos sin cos 0tan cos θ是第三或第四象限角. 答案：C例题5. （2010浙江理数）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件解题思路：本题主要考查了三角函数的定义和有界性及必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，例题6. （2010江西理数）7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ） A. 1627 B. 23 C. 33 D. 34解题思路：考查三角函数的计算、解析化应用意识.假定AB=6,AC=BC=32由余弦定理CE=CF=10再由余弦定理得4cos 5ECF ∠=， 解得3tan 4ECF ∠=答案：D例题7.（2010全国卷2理数）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 解题思路：本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22tan 4tan 21tan 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-. 答案：-1/2例题8.化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-. 解题思路：本题主要考查诱导公式，注意分类讨论.答案：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+. 例题9. （2010上海文数）已知02x π<<，化简：.解题思路：本试题主要考查三角函数诱导公式，考查学生的化简计算能力.原式=lg(sinx +cosx)+lg(cosx +sinx)-lg(sinx +cosx)2=0．答案：0例10．（江苏省苏州市二模）证明：()ααααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-+=++- 解题思路：主要考查同角三角函数关系，证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证D C B A =，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多.（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系.答案：证法一：右边=()()ααααααcos 1sin 1sin sin cos cos 22++--+=()()ααααααααcos sin cos sin 1sin cos 1sin cos ++⋅+++-()()()()()ααααααααααααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1sin cos 1sin cos 2cos sin cos sin 12sin cos 1sin cos 222+++++++-=+++++-==证法二：要证等式，即为()()()()()ααααααααααcos 1sin 1cos sin 1sin cos cos sin 1sin cos 2++++-=++-只要证 2（αsin 1+）（αcos 1+）=()2cos sin 1αα++即证：22sin 2cos 2sin cos αααα+++221sin cos αα=+++ααααcos sin 2cos 2sin 2++，即1=αα22cos sin +，显然成立，故原式得证.【课后作业】1.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（）A.第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2010南通一模) 已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角?3．(2010安徽文)已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值.4．(2010江苏启东调研)已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,tan αα的值.5．tan300°+00405sin 405cos 的值是（ ）A ．1＋3B ．1－3C ．－1－3D ．－1＋36．化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-.7．(2010江苏苏州模拟)已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－35 ，求tan(10π－θ)的值.82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合..9.(2010常州模考) 已知1sin cos (0)2x x x π+=<<，求sin ,cos x x10.(2011江苏常州调研)已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值.11．(2010江苏常州)求证：cos 1sin 1sin cos x xx x +=-.12．（2011盐城模拟） 已知θθcos cos -=，且0tan <θ.（1）试判断)cos(sin )sin(cos θθ的符号；（2）试判断)cos lg(sin θθ-的符号.（2）由题意知θ为第二象限角，1cos sin >-θθ，所以0)cos lg(sin >-θθ.13.已知向量(sin ,cos ),(1,2),m A A n ==-且0m n ⋅=.（1）求tan A 的值；（2）求函数()cos 2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域.14.(2010浙江) 设0,sin 2sin cos P θπθθθ≤≤=+-,（1） 若sin cos t θθ=-,用含t 的式子表示P ;（2） 确定t 的取值范围，并求出P 的最大值.15.在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴正半轴为始边做两个锐角α,β，终边 分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为225,． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．。