对称关系
a (0) = h (2) = 2
a (1) = 2 h (3) = -1
a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
= 2- (cosω+cos2ω)
小结：
•四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性， 而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要 完成幅度特性的逼近即可。
2
h n e jn
h N 1 n e j N 1n
n0
n0
N 1
2
h n e jn e j N 1n
n0
j
N
1
N 2
1
e 2 2h
n0
n
c
os
n
N 1 2
H
N / 21 n0
2h(n)
cos
N 1
n
N21
令
，则
H
2 m0
2h
N 2
1
m
cos
m
1 2
①既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭
对，
zi z*i 1/zi 1/z*i 图4.2(a)
②在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一
对共轭零点， zi,z*i
图4.2（b）
③不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对
互为倒数的零点,
zi, 1/zi
N 1
H 2 2h N 1 msinm
m1 2
H (N 1)/ 2 2h N 1 m sin m
m1
2
所以
N 1
H 2 c(n) sin n
n1
c(n)
2h
N 1 2
n
0
2
由于 对这些点也奇对称。
点呈奇对称，所以
由于
时，
相当于H（z）在
处有两个零点，不能用
于
的滤波器设计，故不能
m1
2
2
H
N/2
d (n)
n1
sin n
1 2
d (n) 2h N 1 n
2
Байду номын сангаас
0
2
由于
sin
n
1 2
在ω=0,２π处为零，所以
H(ω)在ω=0, 2π处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对
ω=0,2π呈奇对称。
四种线性相位FIR滤波器
四种线性相位FIR DF特性，参考表4.1 第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计
H (e j ) h(n)
1）由定义
2)DFT (h(n)) H (e j )
插值
3）卷积
一.矩形窗口法
以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为 例,讨论FIR的设计问题。
a. 对于给定的理想低通滤波器
，计算 hd (n)
：低通滤波器的延时
则
hd (n)
1
2
Hd
e j
e jnd
，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n），当 然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性 ，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内 对hd(n)作一定的加权处理。
设计步骤：
设
H d (e j ) hd (n)
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为奇对称时，其 相频特性中还应加一个固定相移π。
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
n0
n0
N 1
H z h(m)zN 1m
m0
N 1
zN 1 h m zm
2 m1
2
令
a(0) h N 1, a(n) 2h N 1 n, n 1,2, , N 1
2
2
2
则
N 1/ 2
H a(n) cos n
n0
0
由于 率也呈偶对称。
偶对称，因此
2
对这些频
2．h(n)偶对称，N为偶数 h(n)=h(N-1-n)
N 1
N 1
2
H e j
H
N / 22h m1
N 2
1
m
cos
m
1 2
或写为：
H
N /2
b(n)
n1
b(n) 2h
cos
N 1 2
n n
1 2
0
2
由于
奇对称，所以
对
也为奇对称，且由于
时，
处必有一零点，
因此这种情况不能用于设计
时
的
滤波器，如高通、带阻滤波器。
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
①
i0
对应的系统函数
N 1
H (z) ai zi
i0
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
N 1
y(n) h(i)x(n i)
③
i0
比较①、③得：
ai h(i)
N 1
H (z) h(i)zi i0
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理
用作低通、高通和带阻滤波器的设计。
4.h(n)奇对称，N为偶数
H e j
e
j
N 1 2
2
N 1 2
2h
n0
n
sin
n
N2 1
令
m n N 1
2
N 1
H () 2 2h( N 1 m)sin[(m 1)]
m0
2
2
N
H () 2 2h( N 1 m)sin[(m 1)]
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d() d
FIR滤波器的DTFT为
N
H e j H e j hne jn
n
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等 式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部 与虚部的比值应当相等:
N
sin cos
hnsinn
n N
hncosn
n
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到 左边，应用三角函数的恒等关系
j
N 1 2
N 1
h n e jn
n0
2
n N 1
2
N 3
2
hn
e jn e jN 1n
h
N
1 e
j
N 1 2
n0
2
H (e
j
)
j
e
N 1 2
N 3 2
h
n0
n
j n N 1
(e 2
j n N 1
e 2 )
h
N 1 2
e
j
N 1 2
图4.2（c）
④又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单
出现，只有两种可能，
zi=1或zi=-1 图4.2(d),p92 我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种FIR滤波器（h(n)偶
对称，N为偶数），
，
即
是 的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必
有单根；同样道理，对于第三种
FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 都是H（z）的单根；对于
j
e
N 1 2
sin(N
/
2)
sin( / 2)
用幅度函数和相位函数来表示，则有
W (e j ) WR ( )e j
其线性相位部分
则是表示延时一半长度
，
对频响起作用的是它的幅度函数
WR
sinN sin /
/ 2 2
矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
第四章 有限长单位脉冲响应（FIR） 滤波器的设计方法
序言 §4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 §4.2 窗口设计法（时间窗口法） §4.3 频率采样法 §4.4 FIR数字滤波器的最优化设计 §4.5 IIR与FIR数字滤器的比较
序言
FIR数字滤波器的差分方程描述
N 1
y(n) ai x(n i)
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
1
Hd () 0
| | c c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
H
(e
j
)
Hd
(e
j
)
*WR
(e
j
)
1
2
Hd
(e
j
)WR[e
j( ) ]d
1
2
Hd
(
)e
的信号 产生相位失真，这一特点在 宽频带信 号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中 非常重要； （2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一
定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是 满足； （5）无反馈运算，运算误差小。
高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器
都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设
计低通和带阻。
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。