2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。
其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。
其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。
(0,0 ),bi h 1 1X1h2 1X 2h2 2X1。
0系数矩阵Ah1 2X2b2n 2为h1 2X20 b 2则p=- (b1+b2) <0,所以该平■衡点不稳定。
对平■衡点P l J ),i h i系数矩阵1 X)h2 1 X2K 2X2h2 2为b2 h1 2X1 h1 2X2b1h2b2h1b1 2则p= b1b2 b1 21q= bi(b2由题意3您,X1(t0)>01 2,可以得出p>0,q>0,因此该平■衡点是稳定的。
即t 时，(X1(t), X2(t))b i(一二,0)，说明物种2最终要灭亡。
对平衡点P2 (0, E2h2同理可以得到q<0,在该平■衡点不稳定。
因此，在b,X1(t0)>01 2的条件下，物种2最终要灭亡。
(2)对丁线性方程组bib21(^X1 h2X2)2(h l X1 h2X2)在平■面上匹配两条直线l 2,由题意41 垣,X1(t0)>0 ,可将第一象限分为2三个区域。
在最左边区域，X1,X2都大于0;在中间区域，X1, X2都小于0,在最右边区域，X 1,X 2分别是大于0和小于0.，由各区域中X 1,X 2的取值可得到如下图形:x2终要灭亡。
4、蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型X i (t) X i(t) X2(t)X3(t)'_ _ 一一一一X2(t) X2(t) X3(t)X3(t) X i(t)X2(t) X2(t) X3(t)其中 b =i0, p =28, 6 =8/3，且初值为,Xi (0) =X2 (0) =0, X3 (0) 一个小常数，假设c =i0-i°,且0V t < i00。
(i)用函数ode45求解，并画出x2~xi,x2~x3,x3~xi的平■面图；(2)适当地调整参数b , P , 6值，和初始值Xi (0), X2 (0) =0,复一的工作，看有什么现象发生。
解：(i)编写Lorenz函数，function xdot=lorenzi(t,x,b,a,c)xdot=[-b*x (i)+x(2) *X(3);-a*x(2)+a*x(3);-x(i)*x(2)+c*x(2) -X(3)];对各参数赋值并用ode45函数求解，可得数值解：Columns i through 90 0.i250 0.2500 0.3750 0.5000 0.5352 0.6057 0.64090 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000物种2最=£ , &为〔3(0),重0.57050.00000.0000 -0.0000 -0.00000.0000 0.0000 Columns 10 through 180.6761 0.7114 0.74660.9776 1.01050.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 Columns 19 through 271.0434 1.0763 1.1092 1.2797 1.31860.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.00010.0000 0.0000 0.00000.0002 0.0002 Columns 28 through 361.3575 1.3964 1.4246 1.5656 1.59380.0000 0.0000 0.00000.0000 0.00000.0002 0.0003 0.0004 0.0021 0.00290.0004 0.0006 0.00080.0045 0.0063Columns 5590 through 559899.575199.5921 99.6090 99.6260 99.6462 99.6664 99.6867 99.7069 99.733816.9457 16.526116.2010 15.9854 15.8978 16.0348 16.4476 17.1933 18.7894-3.3551 -3.7119 -4.1098 -4.5568 -5.1636 -5.8601 -6.6527 -7.5438 -8.8677-5.3476 -5.9274-6.5941-7.3519-8.3766-9.5370-10.8209-12.1944 -14.07250.0000 0.0000 0.0000 -0.00000.78180.8308 0.8797 0.9286 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.1421 1.1750 1.2079 1.2409 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.00000.00010.00011.45281.4810 1.5092 1.5374 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0012 0.0016 0.0023 0.0032-10 ------------------------ 1----------------------- 1------------------------- 1 ----------------------- 1 ----------------------- 1 ----------------------- -30 -20 -10 0 10 20 30 (2)令参数b , p , 6值各减1,初始值X1 (0), X2 (0)不变，X3 (0) =10-8分别得到得到x2~x1,x2~x3,x3~x1的平■面图如下：可以看出，参数(T , P , 6值各减1 ,初始值X1 (0) , X2 (0)不变，X3 (0) 数值变为X3 (0) =10一8,参数和初始值很小的改变，就会导致最后图形发生很大的变化。
5、用微分方程考察共振现象设物体沿X轴运动(如图所示)其平衡位置取为原点0,物体的质量为1,在时间t物体的位置为X(t)其所受的恢复为(如弹性力等)与物体所在位置的坐标成正比，即k2X，其中常数k称为恢复系数，运动过程所受的阻力(由丁介质及摩擦等)设与速度成正比，即2h虫，h>0,称为阻尼系数。
dt(1) 根据Newton第二定律，建立相应的微分方程.不妨设初始位置为1, 初始速度为0,取k=2, h=0(当h = 0称为简谐振动的方程)和h=0.1,用Matlab软件得到相应的数值解，并在t-X平面上画出X (t)的图形。
(2) 如果物体还受到附加外力的干扰，且外力是一个依据时间t的函数f(t)(设f (t)=B sinwt)，建立相应的微分方程(该方程称为强迫振动方程).在上述参数不变的情况下，取振幅B=1，分别取w=1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2,2.4, 2.6, 2.8, 3.0,用Matlab软件得到相应的数值解，并在t-x平面上画出x(t)的图形。