江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第二次适应性检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知双曲线方程为2213y x -=，则该双曲线的渐近线方程为A ．x =B ．x =C ．y =D ．y = 2．据记载，欧拉公式i e cos isin x x x =+(x ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x ＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式i e 10π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虛数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数2i 3ez π=，则复数z 在复平面内对应的点在第几象限A ．一B ．二C ．三D ．四3．数列{}n a 的通项公式22n n a n =+，若该数列的第k 项k a 满足40＜k a ＜70，则k 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．饕餮(t āo ti è)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一 部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发跳动五次到达点B ，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为A ．15B ．110C ．116D ．1325．已知向量a ＝(sin θ，﹣2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin2θ＋cos 2θ的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．3 6．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程222a x ky -=(k ＞0，k ≠1，a ≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P 向长轴AB（异于A ，B 两点）引垂线，垂足为Q ，则2PQ AQ BQ ⋅为常数．据此推断，此常数的值为A ．椭圆的离心率B ．椭圆离心率的平方C ．短轴长与长轴长的比D ．短轴长与长轴长比的平方 7．已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．(0，2e 2) B ．(0，2e 2] C ．(0，2e 3) D ．(0，2e 3]8．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝4，BC ＝CD ＝2，则四边形ABCD 面积的最大值为A ．57 B ．57C ．42D ．22 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．将()2sin 22cos 21f x x x =-+的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到 函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法正确的是 A ．函数()y g x =的最小正周期是2π B ．函数()y g x =的一条对称轴是8x π=C ．函数()y g x =的一个零点是38π D ．函数()y g x =在区间[12π，58π]上单调递减10．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中 是定值的为A ．三棱锥P —QEF 的体积B ．直线A 1E 与PQ 所成的角C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角D ．二面角P —EF —A 1的余弦值11．已知圆M ：22(2)1x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是 A ．四边形PAMB 周长的最小值为2＋3 B ．AB 的最大值为2 C ．若P(1，0)，则三角形PAB 的面积为85D ．若Q(15，0)，则CQ 的最大值为9412．已知数列{}n a 满足：11a ≥，111()2n n na a a +=+．下列说法正确的是A ．存在1a ，使得{}n a 为常数数列B ．1n n a a +≤C ．212n n n a a a +++≤D ．1i 11(1)1nii a a a =+-≤-∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在4()()x y x y -+展开式中，32x y 的系数为 ．14．2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位、多层次、复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元、自主、平衡、可持续的发展．为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有 种不同的方案．15．在三棱锥P —ABC 中，满足PA ＝BC ＝2，PB ＝AC ，PC ＝AB ，且PB·PC ＝9，则三棱锥P —ABC 外接球表面积的最小值为 ． 16．已知椭圆方程为22143x y +=，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P 点为椭圆上任意一点（异于左、右顶点），直线BP 交直线x ＝﹣4于点M ．设AP ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，若直线AP 平分∠BAM ，则12k k +的值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①442(1)S a =+，②221n n a a =+，③22222645a a a a +=+中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题．已知公差不为0的等差数列{}n a ，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A —BCDE 中，四边形BCDE 为梯形，ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点D 在AC 边上的射影为F ，且DF ＝1，CDBD ＝2．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）求二面角E —AB —D 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，在三角形ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝3，D 为BC 的三等分点（靠近点B ），且∠BAD ＝30°．（1）求sin ∠CAD 的值； （2）求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x 百件产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示，且y （单位：件）与x （单位：百件）线性相关：有 生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟，如果有人10分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有n 个人可派，工作人员1a ，2a ，3a …n a 各自在10分钟内能完成任务的概率都为12，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X ，X 的数学期望为E(X)，证明：E(X)＜2．（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式1122211()()()nni iii i i nniii i x ynx y xx y y b xnxxx ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-．）（参考数据：514530i i i x y ==∑，5215750i i x ==∑．）21．（本小题满分12分）已知函数()(48)ln f x ax x bx =-+(a ，b ∈R)．（1）若a ＝12，b ＝0，求函数()f x 的单调区间； （2）若a ∈Z ，b ＝﹣1，满足()f x ≤0对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求出所有满足条件的a 的值． 22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，且离心率为12，抛物线C 2：22y px =(p ＞0)．点P(1，32)是椭圆C 1与抛物线C 2的交点． （1）求曲线C 1和曲线C 2的方程；（2）过点P 作斜率为k (k ＜0)的直线l 1交椭圆C 1于点A ，交抛物线C 2于点B （A ，B异 于点P ）．①若PB 3PA =，求直线l 1的方程；②过点P 作与直线l 1的倾斜角互补的直线 l 2，且直线l 2交抛物线C 2于点C ，交椭圆C 1于点D （C ，D 异于点P ）．记△PAC 的面积为 S 1，△PBD 的面积为S 2．若12S S ∈(121，311)，求k 的取值范围．。