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2. f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则 x0＝(C )
A. 2
B．－ 2
C．± 2
D．±1
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解析：用幂函数的导数公式求出 f′(x)，解方程可得答 案．
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3. 函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值
相应的增量为 f(1＋Δx)－f(1) .
.
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解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)⇒f′(1)＝2＋2f′(1)，所以 f′(1)＝－2，f(x)＝x2－4x，f′(x)＝2x－4，所以 f′(0)＝－4.
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一 利用定义求函数的导数
【例 1】(1)用定义法求 y＝x2 的导数． (2)航天飞机升空后一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3 ＋30t2＋45t＋4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s. ①h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么； ②求第 2 s 内的平均速度； ③求第 2 s 末的瞬时速度．
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第1讲 导数的概念及运算
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1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝21gt2
其中 t 为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若 V＝Δlit→m0
S1＋Δt－S1 Δt
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C )
A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s
h2＋Δt－h2
值为 v＝
Δt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝[5(2＋Δt)3＋30(2＋Δt)2＋45(2＋Δt)
＋ 4 － (5×23 ＋ 30×22 ＋ 45×2 ＋ 4)]/Δt ＝
5Δt3＋60Δt2＋225Δt
Δt
＝5(Δt)2＋60(Δt)＋225，
当 Δt 趋向于 0 时，v 趋向于 225，
因此，第 2 s 末的瞬时速度为 225 m/s.
B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s
C．在 1 s 末的速率为 9.8 m/s
D．若 Δt＞0，则 9.8 m/s 是 1～(1＋Δt)s 时段的速率
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S1＋Δt－S1
解析：由导数的物理意义可知，V＝Δlit→m0
Δt
指
的是物体在 1 秒末的瞬时速度，由此可知正确答案是 C.
2 s 内的平均速度；③求出 2 秒末的瞬时变化率，取极限值
求第 2 s 末的瞬时速度． ppt精选
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【解答过程】(1)y′＝Δlixm→0
Δy Δx
fx＋Δx－fx x＋Δx2－x2
＝
Δx
＝ Δx
x2＋2x·Δx＋Δx2－x2
＝
Δx
＝2x＋Δx， 所以 y′＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
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二 导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；
(2)y＝ln(x＋2)；
(3)y＝eexx＋－11；
(4)y＝xx＋＋csoinsxx.
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【思路点拨】根据函数的求导公式可得答案．
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【 解 答 过 程 】 (1)y′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx.
A．与 x0，h 都有关 B．仅与 x0 有关而与 h 无关 C．仅与 h 有关而与 x0 无关 D．与 x0、h 均无关
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解析：因为函数 f(x)在 x＝x0 处可导，所以可得 f′(x0) ＝lhi→m0 fx0＋hh－fx0，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关， 故选 B.
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【思路点拨】(1)利用导数定义求函数的导数时，先算
函数的增量 Δy，再算比值ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx，再求极限 y′ ＝Δlixm→0 ΔΔyx；(2)①由 h(t)表示航天飞机发射 t 秒后的高度分
h2－h0 别说明 h(0)，h(1)，h(2)的意义；②直接由 2－0 得到第
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【温馨提示】(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx.简记作：一差、二比、三极 限．
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【跟踪训练 1】在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻
之间的函数关系式为 S＝14t2，t＝3 s 时，此木块在水平方向上
的瞬时速度为 1.5 m/s .
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解析：v＝S3＋ΔΔtt－S3＝14Δt＋23，当 Δt 趋向于 0 时， v 趋向于 1.5，故所求瞬时速度为 1.5 m/s.
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5.已知 f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则 f′(0)＝ 4
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(2)①h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后 1 s 的高度；
h(2)表示航天飞机升空后 2 s 的高度；
②航天飞机升空后第 2 秒内的平均速度为
－v ＝h22－－h00＝5×23＋30×222＋45×2＋4－4
＝125(m/s)．
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③航天飞机升空后在 t＝2 时的位移增量与时间增量的比
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解析：因为函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx，所以函数在 1＋Δx 处的函数值为 f(1＋Δx)，所以函 数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值相 应的增量为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)．
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4. 一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离 S(m)与时间 t(s)
近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔΔyx为( )
A．Δx＋Δ1x＋2
B．Δx－Δ1x－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δ1x
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解析：ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1＝[1＋ΔxΔ2x＋1]－2＝2＋Δx.
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【跟踪训练 2】设函数 f(x)在 x＝x0 处可导，则 lhi→m0 fx0＋hh－fx0( )
(2)y′＝x＋1 2(x＋2)′＝x＋1 2.
ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ －2ex
(3)y′＝
ex－12
＝ex－12.
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x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′
(4)y′＝
x＋sinx2
－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1
＝
x＋sinx2