n i =1
） （2）计算∆Ai 的近似值
∆Ai ≈ f (ξ i )∆xi
ξ i ∈ ∆x i
n i =1
（3） 求和，得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi . ） 求和， 的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 ） 求极限， 的精确值
面 )∆xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
二、小结
元素法的提出、思想、步骤 元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质） 注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？ 微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限 微元法的实质仍是“和式”的极限.
为被积表达式， ） 3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法． 这个方法通常叫做元素法． 元素法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力和平均值等． 功；水压力；引力和平均值等．
i =1
n
积 元 素
提示 若用∆A 表示任一小区间
y [ x , x + ∆x ]上的窄曲边梯形的面积， 上的窄曲边梯形的面积，
A = ∑ ∆A，
∆A ≈ f ( x )dx ，
b
y = f (x)
dA
A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .
o a x x + dx x b
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 ） 的量； 的量； （ 2 ） U 对 于 区 间 [a, b] 具 有 可 加 性 ， 就 是 分成许多部分区间， 说，如果把区间[a, b]分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量 ， 而U 等于所有部 相应地分成许多部分量， 分量之和； 分量之和；
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下
） 的小区间， （1）把区间[a , b]分成n 个长度为 ∆x i 的小区间， 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形， i 第 小窄曲边梯形的面积为∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任 ） 个小区间， 一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量 ∆U 的近似值 如果 ∆U 能近似地表示 为[a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ；
符合下列条件： 当所求量U 符合下列条件：
） （3）部分量∆U i 的近似值可表示为 f (ξ i )∆x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况 ， 选取一个变量例如 x ） 根据问题的具体情况， 为积分变量， 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b ]；