1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)求幂级数()133nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域.【答案】：[)0,6.【解析】因为()()()()1133131limlim3,31333n n nn n nx n x n x n x n ++→∞→∞--+⋅==-+-⋅故当1313x -<，即06x <<时幂级数收敛.当0x =时，原级数为交错级数()111nn n∞=-∑，是收敛的；当6x =时，原级数为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.所以，所求收敛域为[)0,6.(2)设()()2,1x f x e f x x ϕ==-⎡⎤⎣⎦，且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.【答案】：()0.x x ϕ=≤【解析】由()21x e x ϕ⎡⎤⎣⎦=-，得()x ϕ=.由()ln 10x -≥得11x -≥，即0x≤，所以()0.x x ϕ=≤（3）设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰【答案】：12.5π【解析】由高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，得()2223I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（Ω是由∑所围成的区域）21220123sin .5d d r r dr ππθϕϕ=⋅=⎰⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),txx f t t x→∞=+则()f t '=.【答案】：()212.te t +【解析】由于()221lim 1tx t x f t t te x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()()212.tf t e t '=+(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.【答案】1.12【解析】等式()31x f t dt x -=⎰两边对x 求导，得()2331 1.x f x -=令2x =，得()1271f =，即()17.12f =（2）设周期为2的周期函数,它在区间(]1,1-上定义为()32,10,01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =处收敛于.【答案】3.2【解析】由傅里叶级数的收敛定理知，在1x =处收敛于()()11213.222f f +--++==（3）设4阶矩阵()(),,234234A α,γ,γ,γB β,γ,γ,γ==其中234α,β,γ,γ,γ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B =.【答案】40【解析】因为()222,=+234A +B αβ,γ,γ,γ由行列式的性质即得()()2228884140.=+=+=+=+=234234234234A +B αβ,γ,γ,γαβ,γ,γ,γα,γ,γ,γβ,γ,γ,γ三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设)(x f 可导且21)(0='x f 则0→∆x 时)(x f 在0x 处的微分dy 是()(A)与x ∆等价的无穷小(B)与x ∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小【答案】应选（B）【解析】由于)(x f 在0x 点的微分x x x f dy ∆=∆'=21)(0，则2121lim lim 00=∆∆=∆→∆→∆x xx dy x x ，则当0→∆x 时，dy 与x ∆为同阶无穷小.(2)设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的一个解且0)(0>x f ，0)(0='x f ，则函数)(x f 在点0x 处()(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少【答案】应选（A）【解析】由题设可知0)(4)(2)(≡+'-''x f x f x f ，令0x x =，则)(4)(2)(00x f x f x f +'-''0=，又0)(0='x f ，0)(0>x f ，则0)(4)(00<-=''x f x f ，由此可知)(x f 在0x 处取得极大值.(3)设空间区域0:22221≥≤++Ωz R z y x ，及22222:R z y x ≤++Ω，x 0≥，0≥y ，0≥z ，则(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xdvxdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214ydvydv (C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214zdvzdv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xyzdvxyzdv 【答案】应选（C）【解析】由于选项（C）中的被积函数z z y x f =),,(既是x 的偶函数，也是y 的偶函数，而积分区域1Ω既关于yOz 坐标面前后对称，又关于xOz 坐标面左右对称，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xyzdv xyzdv .(4)设幂级数∑∞=-1)1(n nnx a 在1-=x 处收敛,则此级数在2=x 处()(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定【答案】应选（B）【解析】由于∑∞=-1)1(n nnx a 在1-=x 处收敛，则当2111=--<-x 时，原幂级数绝对收敛，而211-2<=，则原幂级数在2=x 处绝对收敛.(5)n 维向量组s ααα,,,21 )3(n s ≤≤线性无关的充要条件是()(A)存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使02211≠+++s s k k k ααα .(B)s ααα,,,21 中任意两个向量均线性无关(C)s ααα,,,21 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)s ααα,,,21 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示【答案】应选（D）【解析】s ααα,,,21 线性相关的充要条件是该向量组中至少存在一个向量，它可以用其余1-s 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知（D）正确.四、(本题满分6分)设((x y xg y x yf u +=，其中函数f 、g 具有二阶连续导数，求.222yx uy x u x ∂∂∂+∂∂【解析】)(()(x y g x y x y g y x f x u '-+'=∂∂，)()(13222x y g x y y x f y x u ''+''=∂∂，((222x y g x y y x f y x y x u x ''-''-=∂∂∂，所以0222=∂∂∂+∂∂yx u y x u x .五、(本题满分8分)设函数)(x y y =满足微分方程xe y y y 223=+''-''，其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点处的切线重合,求函数)(x y y =.【解析】对应齐次方程的通解为xxeC e C Y 221+=.设原方程的特解为xAxe y =*，代入原方程得2-=A .故原方程通解为x x x xe e C e C x y 2)(221-+=.又已知该函数图形与曲线12+-=x x y 在点)1,0(处有公共切线得1|0==x y ，1|0-='=x y ，代入通解有121=+C C ，1221=+C C ,解得11=C ,02=C .所以xe x y )21(-=.六、（本题满分9分）设位于点)1,0(的质点A 对质点M 的引力大小为0(2>k r k为常数，r 为质点A 与M 之间的距离)，质点M 沿直线22x x y -=自)0,2(B 运动到)0,0(O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.【解析】如图所示，.)1(),,1,(22y x MA r y x MA -+==--=引力f的方向与MA 一致，故).1,(3y x rkf --=从而，引力所做的功511(])1([3-=-+-=⎰⋂k dy y xdx rk W BO七、（本题满分6分）已知AP PB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ，100210211P ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭求A ，5A .【解析】⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1140120011P ，由PB AP =，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1140120011000000011120120011PBP A .1-1-6002001114-01-20011-02002001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.)()()()())((115111151115A PBP P PB BP P P P P B P P PB PBP PBP PBP A =====---------个八、（本题满分8分）已知矩阵20000101A x =与20000001B y=-相似.(1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P A P B 的可逆阵.P 【解析】：（1）因A 和B 相似，故E A E B λλ-=-，即200200010001001y x λλλλλλ---=---+，可得22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--比较系数可得：0,1x y ==此时：20001010A =，200010001B =-；（2）从题中可得到A 和B 的特征值为2,1,1λ=-当2,λ=可求得A 的特征向量为1(1,0,0)Tp =当1,λ=可求得A 的特征向量为2(0,1,1)Tp =当2,λ=可求得A 的特征向量为3(0,1,1)Tp =-令100011011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且P 可逆，且有1.P AP B -=九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[],a b 上连续,且在(),a b 内有'()0f x >证明:在(),a b 内存在唯一的ξ,使曲线()y f x =与两直线()y f ξ=,x a =所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线()y f ξ=,x b =所围平面图形面积2S 的3倍.【解析】：存在性在[],a b 上任取一点t ，令()()()3()()()tbat F t f t f x dx f x dx f t b t ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦⎰⎰，则()F t 在[],a b 上连续，又因'()0f x >，故()f x 在[],a b 上单调增加，又()3()()()0b a F a f x dx f a b a ⎡⎤=---<⎢⎥⎣⎦⎰()()()()()()b baaF b f b f x dx b a f b f x dx=-=--⎰⎰所以，由零点定理可知，在(),a b 内存在一点ξ，()0F ξ=，即123S S =唯一性因''()()[()3()]0F t f t t a b t =-+->故，()F t 在(),a b 内是单调增加的，因此，在(),a b 内只有一个ξ.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____13_____.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于56”的概率为____1725________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938u xx du φφ-==⎰，则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为___0.9876_________.【答案】(1)13（2）1725（3）0.9876.【解析】略十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =度函数().Y f y 【解析】因为Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<3(1)1)((1))P y P y P X y =<=>-=>-332(1)1[arctan(1)](1)2y dx y x πππ+∞-==--+⎰故Y 的概率密度为363(1)()1(1)Y y f y y π-=+-.。