历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007联赛二试 类似九点圆如图,在锐角∆ABC 中,AB<AC ,AD 是边BC 上的高,P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ,垂足为E ,作PF ⊥AB ,垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证:1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
(官方解答)证明:连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ,PF ⊥AB ,则B 、D 、P 、F 四点共圆,且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心,故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证,C 、D 、P 、E 四点共圆,且2O 是CP 的中点。
于是,1O 2O 平行于BC ,则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ,所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性:设P 是∆ABC 的垂心,由于PE ⊥AC ,PF ⊥AB ,所以,B 、1O 、P 、E 四点共线,C 、2O 、P 、F 四点共线,∠F 2O 1O=∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ,故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性:设1O 、2O 、E 、F 四点共圆,则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ,又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点,也就是∆CEP 的外心,所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点,也就是∆BFP 的外心,从而ABDCEFP1O 2O∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆,所以∠AFE =∠ACB ,∠PFE =2π- ∠ACB 于是,由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得: (∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP )+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π , 即∠ABP =∠ACP 。
又因为AB<AC ,AD ⊥BC ,故BD<CD 。
设B '是点B 关于直线AD 的对称点,则B '在线段DC 上且B 'D = BD 。
连结A B '、P B '。
由对称性,有∠A B 'P =∠ABP ,从而∠A B 'P=∠ACP ,故A 、P 、B '、C 四点共圆。
由此可知,∠P B 'B =∠CAP = 2π- ∠ACB 。
又因为∠PBC=∠P B 'B ,故∠PBC + ∠ACB = 2π,即BP ⊥AC 又AP ⊥BC ,故P 是∆ABC 的垂心2006 联赛二试以0B 和1B 为焦点的椭圆与10B AB ∆的边i AB 交于i C (i=0,1)。
在0AB 的延长线上任取点0P ,以0B 为圆心,00P B 为半径作圆弧00Q P 交01B C 的延长线于0Q ;以1C 为圆心,01Q C 为半径作圆弧10P Q 交A B 1的延长线于1P ;以1B 为圆心,11P B 为半径作圆弧11Q P 交01C B 的延长线于1Q ;以0C 为圆心,10Q C 为半径作圆弧01P Q '交0AB 的延长线于'0P 。
试证:(1) 点'0P 与点0P 重合,且圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P ;(2)四点0P ,0Q ,1Q ,1P 共圆证明:(1)由题设的四段圆弧有:00P B =00Q B 01B C +00Q B =11P C 11C B +11P C =01C B +10Q C10Q C =00B C +'00P B以上四个式子相加,整理得:00P B +01B C +11C B =01C B +00B C +'00P B 又由题设的椭圆有:11C B +01B C =01C B +00B C 于是,00P B ='00P B ,即点'0P 与点0P 重合。
又因为圆弧00Q P 与10Q P 对应的圆心0B 、0C 和点0P 三点共线,且点0P 在线段00B C 的延长线上,所以圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P(2)过点0P 、1P 分别引相应圆弧的公切线T P 0和T P 1交于点T ;再过点1Q 引相应圆弧的公切线RS ,分别交T P 0、T P 1于R 、S 。
得到等腰三角形R Q P 10和S Q P 11。
基于此,我们有:π-110P Q P ∠=R Q P 10∠+S Q P 11∠= (10P TP ∠-101P P Q ∠)+(01P TP ∠-011P PQ ∠) 又π-110P Q P ∠=101P PQ ∠+011P P Q ∠,从而有: 110P Q P ∠=π-21(10P TP ∠+01P TP ∠)同理可得100P Q P ∠=π-21(10P TP ∠+01P TP ∠)所以, 0P ,0Q ,1Q ,1P 四点共圆。
2005 联赛二试如图,在∆ABC 中,设AB>AC ,过A 作∆ABC 的外接圆的切线L 。
又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ;交直线L 于E 、F 。
证明:直线DE 、DF 分别通过∆ABC 的内心与一个旁心。
(官方解答)证明:(1)先证DE 通过∆ABC 的内心。
连结DC 、 DE ,作∠BAC 的平分线,交DC 于G ,交DE 于I 。
又AD=AC ,则∆GAC 与∆GAD 全等,即有∠IAC=∠IAD=21∠DAC 又D 、C 、E 在以A 为圆心的圆上,则21∠DAC=∠IEC 故∠IAC=∠IEC ,即A 、I 、C 、E 四点共圆。
于是,∠ACI=∠AEI又F 、D 、E 在以A 为圆心的圆上,则∠AEI =21∠FAD 又因为相切有∠FAD=∠ACB ,故∠ACI=21∠ACB 所以,I 为内心。
(2) DF 通过∆ABC 的一个旁心。
设FD 与AI 的所在直线交于A I ,连B A I , BI 。
则∠BI A I =2ABCBAC ∠+∠,而∠BD A I =∠ADF ,又AD=AF ,则∠ADF=∠AFD=2DAE ∠=2CAEBAC ∠+∠,又因为相切有∠ABC=∠CAE ,故∠BI A I =∠BD A I ,即I 、D 、B 、A I 四点共圆。
于是,∠I B A I =∠ID A I =︒90,又因为∠ABC 的平分线与其外角平分线互相垂直,故B A I 为其外角平分线。
所以,A I 为∆ABC 的BC 边外的旁心。
2004联赛二试在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K ,已知BC =25,BD=20,BE =7,求AK 的长。
解:在直角∆BCE 中,BC=25,BE=7,则CE=24;同理,在直角∆BCD 中,BC=25,BD=20,则CD=15。
sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC =2524*2515+257*2520= 54 于是,AC=A CEsin =30,则AD=15。
同理,AB=ABDsin =25,则AE=18。
注意到:AB=BC ,则∠A=∠C由于∠CDB=∠CEB=︒90,C 、D 、E 、B 四点共圆, 则∠C=∠AED 。
于是,∠A =∠AED ,则DE=AD 。
连FD ,则DF ⊥AE ,于是AF=21AE=9,则AG=AD AE AF *=554。
由于AFG S ∆=AFK S ∆+AGK S ∆,即21AF*AGsinA=21AF*AKsin ∠FAK+21AG*AKsin ∠GAK其中,sin ∠FAK=sin ∠BCE=257,sin ∠GAK =sin ∠CBD=2515将数据代进去,计算得:AK=25216(这里实际上使用了张角公式,而官方解答注意到GF 与BC 平行的关系)2003 联赛二试两点,、。
所作割线交圆于,割线,切点为作圆的两条切线和一条过圆外一点D C B A P .PAC DBQ PBC DAQ Q CD D P C ∠=∠∠∠,求证:=,使上取一点之间,在弦、在简证:连AB ,注意到:∠AQP=∠DAQ+∠QDA=∠PBC+∠ABC=∠ABP 于是,P 、A 、Q 、B 四点共圆。
那么,∠PAB=∠PQB即 ∠PAC+∠BAC = ∠BDC+∠DBQ又因为 ∠BAC =∠BDC ,所以∠PAC =∠DBQ2002 联赛二试如图,在∆ABC 中,∠A=︒60,AB>AC ,点O 是外心。
两条高BE 、CF 交于H 点。
点M 、N 分别在线段BH 、HF 上,且满足BM=CN 。
求 OHNHMH +的值。
机械解法:设外接圆半径为R , 引理1:A AH cos =B BH cos = CCHcos = 2R (锐角三角形) 引理2:OH =OA +OB +OC 引理1的证明:BH=ABHBF ∠cos =A Ba sin cos =2RcosB ,同理有:AH=2RcosA , CH=2RcosC 。
引理2的证明:设H '满足H O '=OA +OB +OC ,则H A '=OB +OCH A '*BC =(OC +OB )*(OC -OB ) = OC 2- OB 2 = 0 ,所以A H '⊥BC同理,B H '⊥AC ,所以H '与H 重合。
题目的证明:图中H 在三角形内部,可以判断∆ABC 为锐角三角形。
∠A=︒60,AB>AC ,则∠C>∠B 。
于是可设∠B=︒60-α,∠C=︒60+α,其中0<α<︒30。
因为BM=CN ,则MH+NH =(BH-BM)+(CN-CH) = BH-CH = 2R(cosB-cosC) = 2R[cos(︒60-α)-cos(︒60+α)] =23Rsin α而OH 2= (OA +OB +OC )2= 3R 2+2R 2(cos2A+cos2B+cos2C)= 3R 2+2R 2[cos ︒120+cos(︒120-2α)+cos(︒120+2α)] = 2R 2(1-cos2α) = 4R 2sin2α ,即OH=2Rsin α故OH NH MH + = ααsin 2sin 32R R = 32001联赛二试如图,∆ABC 中,O 为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N 。