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下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
由最小势能原理（针对该单元），将 结点位移向量 取一阶极小值，有
对待定的
这就是单元的刚度方程，由最小势能原理的性质 （系统的势能最小可推导出力的平衡方程和力的边 界条件）可知，上式的物理含义是：该单元的力的 平衡关系。
4.3.2 平面问题中杆单元的坐标变换
在工程实际中，杆单元可能出于整体坐标系中的任 意一个未知，如上图所示，这需要将原来在局部坐 标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系 中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准， 以便对各个单元进行集成和装配。
• 所有物理量的表达（所有力学量都用结点位
移来表达）
其中
• 单元的平衡关系
上式的实质（物理含义）是对应于单元体内的力 平衡和单元结点上的力平衡。 (3) 装配集成
• 整体平衡关系
其中
(4) 处理BC并求解结点位移 目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。
其中，qu为未知结点位移，qk为已知结点位移， Pu为未知结点力（即支反力），Pk为已知结点力。
有
则结点1的外力为：
(7) 讨论
如果我们在处理位移边界条件之前，先对总势能取 极值，有
在上述方程的基础上，再处理位移边界条件(BC)， 即令u1=0，即可从上述方程求出u2，u3和P1，其求解 的值与前面的结果完全相同。
这就给我们提供了一个方便，即，可以先 进行各单元的装配集成，以形成该系统的 整体极值方程，类似于上页的式子，最后 才处理位移边界条件，同时也可以通过该 整体方程直接求出支反力。这样可以适应 更多的边界条件工况，更具有通用性。
将上页方程代入以下两个方程表达式：
（1） （2）
可以先由（1）式直接求出未知结点位移：
(5) 求支反力 在求出未知结点位移qu后，由上页的(2)式可求出支反力
(6) 其它力学量的计算 单元和整体的应变及应力
4.3 杆单元及坐标变换
4.3.1 局部坐标系中的单元描述
局部坐标系中的杆单元
上图所示的杆单元，设有两个端结点(Node1和 Node2)，结点位移向量 和结点力向量 为
利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计
算公式，可以将单元的所有力学参数（场变量）
(
和 )用结点位移向量来表
示。
(1) 单元位移场ue(x)的表达
由于有两个结点位移条件，可假设该单元的位移场 为具有两个待定系数的函数模式，即
其中a0和a1为待定系数。 由该单元的结点位移条件
可求出上页的a0和a1，则
4.2 有限元分析的基本步骤和表达式
从上面的简单实例中，可以总结出有限元分析的基本思路 （以杆单元为例）：
基本步骤及相应的表达式
(1) 物体几何的离散化
为具有特征的单元。
(2) 单元的研究（所有力学信息都用结点位移来表 达）
• 单元的结点描述 • 单元的位移（场）模式（唯一确定性原则，
完备性原则） 为几何位置坐标。
可重新写成
其中，
叫做单元的形状函数矩阵，即
(2) 单元应变场
的表达
由弹性力学中的几何方程（这里为一维问题）有
其中
叫做单元的几何函数矩阵，即
(3) 单元应力场
的表达
由弹性力学中的物理方程，有
其中， 为该单元的弹性模量， 的应力函数矩阵，即
叫做单元
(4) 单元势能 的表达
其中， 叫做单元的刚度矩阵，即
上图中局部坐标系中的结点位移
上图中整体坐标系中的结点位移
对于结点1，整体坐标系下的结点位移 和
其合成的结果应完全等效于 ；对于结点2，结点
位移 和
合成的结果应完全等效于
，
即存在以下的等价变换关系
写成矩阵形式
其中 为坐标变换矩阵，即
下面推导整体坐标系下的刚度方程，由于单元的势 能是一个标量（能量），不会因坐标系的不同而改 变，因此，将结点位移 的坐标变换关系代入单 元势能 公式，有
杆梁结构的有限元分析原理
本章提到的
FEM即 有限元方法(Finite Element Method) FEA即 有限元分析(Finite Element Analysis) 4.1 一个简单结构FEA求解的完整过程
一个阶梯形状的二杆结构如图所示，其材料的弹性 模量和结构尺寸如下：
该结构由两根杆件组成，作为一种直觉，需 要研究相应的“特征结构”，即杆单元，将 该“特征结构”抽象为具有两个结点的单元， 如下图所示。
单元①的刚度矩阵
单元①的结点外载 其中P1为结点1的支反力。
具体就单元②，有 单元②的结点位移向量 单元②的刚度矩阵 单元②的结点外载
(3) 装配集成以得到系统的总体势能 计算整体的势能
(4) 处理位移边界条件并求解 由图可知，其边界条件为左