70
梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力）。分布载荷即为作用线垂直 于梁轴线的线分布力，常以载荷集度 q 表示。其常用单位为 N/m 或 kN/m。
第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力
一、内力
为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。
这个问题可以利用截面法解决。
(a )
∑ m0 = 0 M + P1(x − a) − YA x = 0
M = YA x − P1 (x − a)
(b )
(b)式为向 C 截面形心 O 取矩。
a P1
P2
(a) A
C
x
YA
l
b P3 c
B
YB
(b) A YA
P1
Q΄
OM M΄
20-7
P3 B
YB
同理，如以右段为研究对象[图 20-7（c）]，并根据 CB 段梁的平衡条件计算 C 截面 的内力，将得到与式（a）、（b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是 必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。
二、悬臂梁
图 20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除 受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱 上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图 20-5（b）所示的计 算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。
68
(a)
y P
(b) YA
q
m 对称面
x
m
YB
图 20-3
第二节 静定梁的基本形式
梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几 种最基本的梁。
一、简支梁
图 20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力 P 垂直于 轴线，在 P 力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近 似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴 本身用轴线表示。其计算简图如图 20-4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为 活动铰支座的梁，称为简支梁。
如图 20-6（b）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且 有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。
r
Pa
Pa M0 =Par 图 20-6
上述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未 知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座， 因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反 力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。
如图 20-7（a）所示的简支梁，承受集中力 P1、P2、P3 作用。先利用平衡方程求出 其支座反力 YA、YB。现在用截面法计算距 A 为 x 处的横截面 C 上的内力，将梁在 C 截 面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段[图 20-7（b）]，研究其平衡。在左
段梁上作用着外力 YA 和 P1，在 C 截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。 现将左段梁上所有外力向 C 截面形心 O 简化，得主矢量 Qˊ和主矩 Mˊ[图 20-（7 b）
三、外伸梁
某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮[图 20-6（a）]，作用于齿轮的
69
凸轮
P 挺杆
凸轮轴 P
(a) 主杆
(a)
(b)
(b)
悬臂 P 主轴箱
Pq
图 20-4
图 20-5
力除轴向力 Pa 外，还有径向力 Pr 和圆周力 P（图中 Pr 和 P 未画出），如果单独研究 Pa 对轴的作用，可将 Pa 平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的 Pa 和一力矩 Mo=Par，轴 向力 Pa 使轴产生压缩变形（这里暂不考虑），而力偶 Mo 将使轴产生弯曲变形。因为力 Pa 向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为 固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到
中虚线所示]。由此可知，为了维持 AC 段梁的平衡，C 截面上必然存在着两个内力分量：
与主矢量 Qˊ平衡的内力 Q 和与主矩 Mˊ平衡的内力偶矩 M。称内力 Q 为剪力，内力
偶矩 M 为弯矩。
由左段梁的平衡条件可得 X 截面的剪力和弯矩，即
∑ Y = 0 YA − P1 − Q = 0
Q = YA − P1
第二十章 弯曲的强度计算
第一节 概述
如图 20-1 所示的车轴，图 20-2 所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑 中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯 曲变形为主的杆件通常称为梁。
d2 d1
a
l
P/2
b
a P/2
P/2
YA
A
YB P/2 B
图 20-1
下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确 定它们的内力符号。自梁内取出 dx 小段，其错动趋势如图 20-9（a）所示，即“左上右 下”时剪力为正，反之为负[图 20-9（b）]。至于弯矩的符号，则为当 dx 小段弯成下凸 时弯矩为正[图 20-9（c）]，反之为负[图 20-9（d）]。按上述符号规定，计算某截面内 力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。
(a ) P
P q
(b) 图 20-2
一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用 时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴[图 20-3（a）]，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁 的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线[图 20-3（b）]，这种弯曲属于平面弯曲。本 章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。
71
二、应力
剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。虽然我们还不知道应力在横截面上 的分布规律，但可将它们分解成正应力 σ 和剪应力 τ。由图 20-8（b）可看出，剪力 Q 是由剪应力 τ 组成的。而弯矩 M 的出现可以这样来说明：图 20-8（a）的梁在 P 力作用 下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别 合成为拉力 N2 和压力 N1，而 N1 和 N2 大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是 弯矩 M。