三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。

根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。

1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。

如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。

如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。

例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。

5．化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

例5 已知acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β，mtan 2α=ntan 2β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。

用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。

例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2( ≠0，1)。

求证：tan22α= -+11tan 22β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos2A cos 2B cos 2C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。

8．化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=2sin 2sin 21cosx x nx n +思路分析：左边同乘以sin 2x,去括号，积化和差可得9.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。

上述例题可用数学归纳法证明。

三角恒等式的证明【考点回顾】1．三角公式在恒等变形中的应用；2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法. 例1．求证：.0)60tan(tan )60tan(tan )60tan()60tan(3=-+++-++A A A A A A例2．求证：.)cos 1(2)1cos(cos cos 3cos 2cos cos 21ααααααα-+-=+++++n n n例3．求证：.cos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos αααααααα++-=+-+【基础训练】1． 求证：(sin α+tan α)(cos α+cot α)=(1+sin α)(1+cos α).2． 求证：(1－tan α)=(cos 2α-cot α)(sec 2α+1tan α).3． 求证：.1sin 1sin 2sin 3sin 22-=4． 求证：tan13x －tan8x －tan5x = tan13x tan8x tan5x .【拓展练习】1．条件甲：3sin αcos(α+β)=sin(2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tan α，则甲是乙的 （ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．2tan2cotcos 42ααα-等于（ ）A ．ααcos sin 21⋅ B ．sin2α C ．－sin2α D ．α2sin 1613．已知α、β均为锐角，且则),sin(21sin βαα+=α、β的大小关系是 （ ）A ．α>βB ．α<βC ．α≤βD ．α与β的大小不确定4．求证：).3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan x x xx xx -=⋅+5．求证：(cscA+cotA)(1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA －secA)[2－(1－cosA)(1－sinA)].6．求证：.cos sin 1tan sec 1tan sec 1xxx x x x +=-+++7．求证：.4sin 4cos 32cos 224cot 2cot cot αααααα++=++8．求证：.2sin 4sin 412cos sin cos 88a αααα-=--9．求证：.2cot 22cot 212tan 214tan 412tan 21tan 1111αααααα-=++++----n n n n10．求证：（1）.22cos2cos2)1cos(3cos 2cos cos 21αααααα+=-++++n n C C C nn n n n n（2）.22sin 2cos2)1sin(3sin 2sin sin 31αααααα+=+++++n n C C C nn n n n n11．在矩形ABCD 中，P 为时间线BD 上一点，AP ⊥BD ，PE ⊥BC ，PF ⊥DC.求证：.1)()(3232=-BDPF BO PE三角恒等式证明答案 ：1.右式=x x x x 21cos 23cos 2)2123sin(2-=xx xx x x 21cos 23cos 21sin 23cos 21cos 23sin -= tan 23x - tan 21x 。

2. ∵ sin 2C=C C 22tan 1tan + ，sin 2A=AA 22tan 1tan + ∴ A C 22sin sin =)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ 由已知可得A C 22sin sin =1-A B A tan )tan(-=)tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++， ∴ )tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++=)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ ∴C C 22tan 1tan +=B A A B tan tan 1tan tan + 即tan 2C = tanA ·tanB 命题成立。

3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 右边=8(22cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 22α)= 2(1-2cos2α+24cos 1α-)=cos4α-4cos2α+3=左边。

4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。

左边=)sin )(cos sin (cos )cos (sin 2αααααα+--=ααααsin cos )cos (sin +--=ααtan 1tan 1+-=右边5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2α=ntan 2β得n=0，显然成立。

当m ≠0时，只须消去α、β即可。

由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=m n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=tan 2α即可得αα22tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2α=21。

求得cos 2β=m b a 2+，sin 2β=n b a 2+，又由cos 2β+sin 2β=1不得。

∴m b a 2++nb a 2+=1 ， 即 (a+b)(m+n)=2mn6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

由已知得1+ cos α- cos β- 2cos αcos β=1- 2, 2(cos αcos β-1)= (cos α-cos β)，∴ =1cos cos cos cos --βαβα 依合分比定理得-+11=βαβαβαβαcos cos 1cos cos 1cos cos cos cos +---+-=)1)(cos cos 1()1)(cos cos 1(-+--βααβ=2sin 2cos 42sin 2cos 42222βααβ=tan22αcot 22β ∴ tan 22α= -+11tan 22β 7. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。

∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin2B A +cos 2BA -+ sin(A+B)=2sin2B A +(cos 2B A -+cos 2B A +)=2sin 2B A +2cos 2A cos 2B=4 cos2A cos 2B cos 2C8. 思路分析：左边同乘以sin2x,去括号，积化和差可得 左边=21[(sin 23x -sin 2x )+(sin 25x -sin 23x )+…+(sin 2)12(x n +-sin 2)12(x n -)] =21(sin 2)12(x n +- sin 2x )=cos 2)1(x n +sin 2nx。