大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数： 1.类型：(1) 数列：* a n f(n)；(2) 初等函数：⑶分段函数：*F(x)an 1f(a n)f i (x) x X of2(X )，X X o ； *F(X)⑷复合洽f )函数：y f(u), u (x)⑸隐式(方程)： F(x, y) 0X ⑺变限积分函数：F(x) f(x,t)dta(8)级数和函数(数一，三)：S(x)a n X n , Xn 02.特征(几何):,0 , 00, 1 1n n 1, a n (a 0) 1, (a n b nf(x) x X a 'x x 0(6)参式(数一,二)：x x(t) y y(t)(1)单调性与有界性 (判别);(f(x)单调 X 0, (X (2)奇偶性与周期性 (应用).3.反函数与直接函数 y f(x) xf 2 3 4 1(y) 二.极限性质： 1.类型：* lim a n ;lim f (x)(含 xX);x °)( f (x) f (x 。

))定号)y f 1(x)f (x)洽 x X 0 )1 -(x 0) xlim x xx 01,limx0,n..ln x lim 0,x xlim xln n x 0,x 0 1.等价无穷小:当u （x ） sin u(x): u(x)； tan u(x): u(x); cosu(x) : 1 u 2(x);e u(x) 1: u(x); ln(1 u(x)):u(x);(1 u(x))1: u(x);arcsin u (x): u(x)；arcta n u(x): u(x)2.泰勒公式: x / (1) e 1 x (2) ln(1 x) (3) sinx (4) COSx 1 2x 2! 1 2 x x 2 1 3x3! 1 2 x2! o(x 2); o(x 2); o(x 4); ⑸（1 x ） 1 45x o(x ); 4!(1) 2 (2、x o(x ). 2!五•常规方法: 前提：（1）准确判断 ,M （其它如:,0,00,1）; （2）变量代换（如： t ）x1.抓大弃小（一）,2.无穷小与有界量乘积 (注：sin 1 x1,x3. 1处理（其它如 :00, 0) 4.左右极限（包括 ):x /⑵e (x）；1e x (x0);(3)分段函数:x , [x], max f (x)5. 无穷小等价替换6. 洛必达法则 （因式中的无穷小）（注：非零因子）（1）先”处理”后法则（最后方法）;（注意对比：lim 与|im 凶竺）0 x 11 x x 0 1 x1 1 1 1 1(2) 幕指型处理：u(x)心 e v(x)lnu(x)(如：e 亍 e x (e^ ' 1))(3) 含变限积分；(4) 不能用与不便用 泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小 极限函数：f (x) lim F (x, n)(分段函数)n非常手段 收敛准则： (1) a nf (n) lim f (x)x(2) 双边夹：* b n a n c n ?, *b n ,c na? (3) 单边挤：a n 1 f (a n ) * a 2a/ * a .M ? * f '(x) 0?7.8. 六. 1.2. 3. 4. 5.七. 1.2.3. 八.导数定义(洛必达?)： limf '(X 。

)Vx 0Vx积分和：limbf —)nnn f(2) L f(n)]n n10 f(x)dx , 中值定理:lim[ f (x xa) f (x)] a lim xf'() 级数和(数一三):(1) a n 收敛 lim a nn 1 n2n n! 0, (如 lim n ) n n (2) lim( a 1 a 2 L a n ) a nn n 1(3){a n }与 (a n a n 1)同敛散n 1常见应用：无穷小比较(等价，阶)：* f (x) : kx n ,( x 0)?[a,b]上连续函数性质(1) f(0) f'(0) L(n 1}(0) 0, f (n) (0) a f(x)a n xn!nan(x):n!xx(2) 0 f(t)dt : 渐近线(含斜)： 叫x(1) a limx (2) f(x) 连续性:\t n dtax blim[ f (x) ，(-0) x(1)间断点判别(个数);ax] f (x) : ax b ⑵分段函数连续性(附:极限函数，f '(x)连续性)1. 连通性：f ([a,b]) [m,M ](注：02. 介值定理：(附：达布定理)1,平均”值：f(a) (1 )f(b) f(x o)) (1)零点存在定理：f (a) f (b) 0 f (x o) 0(根的个数);x⑵ f(x) 0 ( f(x)dx)' 0.a第二讲：导数及应用(一元)(含中值定理).基本概念：f (x Vx)1.差商与导数：f '(x) lim f (X)；f'(X°)lim f(x) f(X0)Vx 0 Vx X x x X0(1) f '(0) lim f(x) f(0)(注:lim f(x) A(f连续)f(0) 0, f '(0) A)x0x x 0 X(2)左右导：f (X°), f (X°)；(3)可导与连续；(在x 0处，x连续不可导；X X可导)2.微分与导数：Vf f(x Vx) f(x) f '(x)Vx o(Vx) df f '(x)dx(1)可微可导；⑵比较f,df与"0"的大小比较(图示);二.求导准备：1. 基本初等函数求导公式；(注：(f(x))')dx 12. 法则：(1)四则运算；(2)复合法则；⑶反函数一dy y'三.各类求导(方法步骤)：1. 定义导：(1)f'(a)与f'(x)xa； (2)分段函数左右导；(3)lim f(X h) f(x h)h 0hF(x) x x(注：f(x) , ,求:f '(x0), f '(x)及f'(X)的连续性)a x x02. 初等导(公式加法则)：(1) u f[g(x)],求:u '(x0 )(图形题)；x x b b ⑵ F(x) a f(t)dt,求:F'(x) (注: ( a f(x,t)dt)', ( a f(x,t)dt)', ( a f(t)dt)')f1(x) x x0' '⑶y £ /、，，求f (x°), f帆)及f '(X。

)(待定系数)f2 (x) x xdy d 2y , 2 dx dx(1) 存在定理；(2) 微分法(一阶微分的形式不变性). (3) 对数求导法.(2)二阶导(f '(X Q ) 0)注(1) f 与f '，f"的匹配(f '图形中包含的信息)；3. 4.5. 四. 1. 2. 3. 4. 五. 1. 2. 隐式(f (x, y)0)导: x 参式导(数一,二):y2x (t )，求:d y ，d _y y(t) dx dx 高阶导f (n )(x)公式:/ ax 、(n) n ax(e ) a e(斗)(n) a bxb n n! (a bx)n 1(sin ax)(n) a n sin(ax2 n)；(cosax)⑴ a n cos(ax(uv)(n) u (n)v c n u (n1)v' C ^u (n 2) v" L注:f (n)(0)与泰勒展式：f (x)a 0 a 1x a 2X 2Ln ia n X La nf (n )(0) n!各类应用：斜率与切线(法线);(区别：yf (x)上点M 。

和过点M 。

的切线)物理：(相对)变化率 速度; 曲率(数一二):f"(x) f'2(x))3(曲率半径，曲率中心，曲率圆)边际与弹性(数三): 单调性与极值(必求导)(附: 需求，收益，成本，利润) 判别(驻点f '(x 。

) 0):(1) f '(x) 0 f (x)Zf'(x)0 f (x)](2)分段函数的单调性 (3) f '(x) 0 零点唯一；f"(x) 0 驻点唯一(必为极值，最值).极值点:(1)表格(f '(x)变号)；(由limx x f'(x) x0，lim f '(x)x X Q0，lim¥x 冷 xx 0的特点)⑵实例：由f'(x) (x)f(x) g(x)确定点’X Xo”的特点•(3) 闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)3.不等式证明(f (x) 0)(1)区别：*单变量与双变量？*x [a, b]与x [a, ),x ( , )?(2)类型: * f' 0, f(a) 0; * f ' 0, f (b) 0* f" 0, f (a), f (b) 0; * f "(x) 0, f'(x。

)0, f(x。

)0⑶注意：单调性端点值极值凹凸性•(如：f(X) M f max(x) M )4. 函数的零点个数：单调介值六.凹凸与拐点(必求导!)：1. y"表格;(f"(X o) 0)2. 应用：⑴泰勒估计；(2) f '单调；(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数：(注：最值点必为驻点)1.结论：F(b) F(a) F'( ) f() 02.辅助函数构造实例：(1) f( ) F(x) xa f(t)dt(2) f'( )g( )f( )g'() 0 F(x) f(x)g(x)(3) f'( )g( )f( )g'() 0 F(x)f(x) g(x)⑷f'( ) ()f( )0 F(x) e (x)dx f(x);3. f(n)( ) 0 f (x)有n 1个零点f(n1)(x)有2个零点4. 特例：证明f(n)( ) a的常规方法:令F(x) f(x) P n(x)有n 1个零点(R(x)待定)5. 注：含1, 2时分家！(柯西定理)6.附(达布定理)：f (x)在[a,b]可导，c [ f '(a), f '(b)],八.拉格朗日中值定理1.结论:f(b) f(a) f'( )(b a); ( (a) (b)[a,b],使:f'( ) c '()0)2•估计：Vf f '( )Vx九泰勒公式(连接f , f ', f "之间的桥梁)1 211. 结论:f(x) f(X o) f'(x°)(x X o) - f "(X o)(X X o) -f"'( )(x2. 应用：在已知f (a)或f (b)值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):［注:有定积分(不含变限)条件时使用］第三讲：一元积分学—■.基本概念：1.原函数F(x):(1) F '(x) f (x); (2) f(x)dx dF(x); (3) f (x)dxX注(1) F (x) f (t)dt(连续不一定可导);ax x(2) a (x t)f(t)dt a f(t)dt f (x) ( f (x)连续)2. 不定积分性质：(1) ( f (x)dx)' f (x); d( f (x)dx) f (x)dx(2) f '(x)dx f (x) c; df (x) f (x) c二不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式F(x) c2. 基本方法：拆(线性性)(k1f (x) k2g(x))dx k1f (x)dx k2g(x)dx3. 凑微法(基础)：要求巧简活(1・2sin x 2cos x)4.1女口: dx d (ax b), xdx a—x dx d.1 x2,-1 x2变量代换:Sx2,2dx dlnx, dxV x(1 In x)dx d(xln x)(1)常用(三角代换，根式代换,倒代换)：x sint, . ax b t,1t, .e xx⑵作用与引伸(化简)：x21 x t5.分部积分(巧用):x(1) 含需求导的被积函数(如In x,arctan x, f (t)dt );a(2) 反对幕三指 ”： x n e ax dx, x n ln xdx,(3) 特别： xf (x)dx (*已知f (x)的原函数为F(x)；*已知f'(x) F(x))6.特例：(1)a1 sin x_dx ; (2) p(x)e kxdx, p(x)sin axdx 快速法；⑶a sinxb cosx三.定积分： 1•概念性质：(1) 积分和式(可积的必要条件：有界，充分条件:连续) (2) 几何意义(面积，对称性，周期性，积分中值)x(x) f(t)dt 的处理(重点)a⑶附:* ax x0 bf(x)dx a dx(a 0) a 2;8bf (x)g(x)dxM (b a),ba(xa b 、’小 )dx 0 2 a g(x)dx )(4)定积分与变限积分 ,反常积分的区别联系与侧重(1) f 可积连续，f 连续可导x⑵(a f(t)dt)'xf(x); ( a (x t)f(t)dt)'f(t)dt ;xa f(x)dt (x a) f (x)(3)由函数F (x)x f (t)dt 参与的求导，极限，极值,积分(方程)问题 3. N L 公式: b f (x)dx F(b) F(a) (F(x)在[a,b]上必须连续!)a注:(1)分段积分，对称性(奇偶),周期性 (2)有理式，三角式，根式 bf (t )dt 的方程. ⑶含 4.变量代换 f (x)dx f(u(t))u'(t)dt (1) a 0 f(x)dxa 0f(ax) dx(xt),aa f(x)dxa af(x)dx(xt)a1[f(x) f( x)]dx(如::忌加I n0% n n xdxuv^dx2:变限积分⑷。