过 k 年的旧设备的决策
(k ) （2）弧集 E={ ( X ib , X i 1,b ),( X ir , X i 1,b ), i=1,2,3,4; k=1,2,…,i-1} 1) (k ) ( k 1) ∪{ ( X ib , X i( , =1,2,3,4,5} ∪ { ) ( X , X 1,r ir i 1,r ) ,i=1,2,3,4,5 ;k=1,2,i -1}
deg( x) 2 E .
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节 图的顶点度和图的同构(2)
定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结 点出度之和. 证明 因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结 点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边.因此,有向 图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等 于边数. 定义度序列 若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.

第二节 图的顶点度和图的同构(3) 推论1 非负整数序列 (d1, d 2 ,..., d p ) 是某个图的度序 p d i 是偶数. 列当且仅当

证明:由定理1知必要性成立.对于充分性取p各相异顶点 v1,v2,…,vp,若di是偶数,就在vi处作di/2个环; 若di是奇数,在vi处作(di-1)/2个环,由于 d i是偶数,
5.图的广泛应用

图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交 通运输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络, 如河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、 电话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有 许多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关 系、事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序 关系等等,这些网络都可以归结为图论的研究对 象—图.其中存在大量的网络优化问题需要我们 解决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等 问题也可以转化为网络优化的问题.
一个有向图D,称D为G的一个定向图.
例 证明:在任意六个人的聚会上,要么三个曾相识, 要么三个不曾相识.
证明:用A,B,C,D,E,F代表这六个人,若两人曾相识,则在代 表该两人的顶点间连一条红边;否则连一条蓝边.于是, 原问题等价于证明所得图中必含有同色三角形.考察某 一顶点,设为F.与F关联的边中必有三条同色,不妨设它 们是三条红边FA, FB, FC.再看三角形ABC.若它有一条 红边,设为AB,则FAB是红边三角形;若三角形ABC没有 红边,则其本身就是蓝边三角欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅 一次回到出发点的路线的充要条件是: 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些 边连接起来; 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论 的开篇之作,因此称欧拉为图论之父.
2 n(n 1)条边. (3) n个结点的完全图记为Kn,完全图Kn有 Cn
完全图的对称有向图称为完全有向图,记作 K * . n (4) 图G的顶点个数 称为图G的阶. (5) 对于有向图D,去掉边上的方向得到的无向图G称为D的
基础图.反之,任一个无向图G,将G的边指定一个方向得到
1 2
第二节 图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x 关联的边数(一条环计算两次)称为x的度数.记 作deg(x)或d(x). 设D是任意有向图，x为G的任一结点，以x为 终点的边的条数称为x的入度，记作deg+(x)或 d+(x). 以x为始点的边的条数称为x的出度，记作 deg-(x)或d-(x).
任课教师:陈六新
chenliux@

答疑时间:星期三下午2:30-3:30;
地点:数理学院3楼 应用数学教学部
建议参考书: 图论及其算法 殷剑宏 吴开亚 中科大出版社


图论及其应用 张清华等编 清华大学出版社
图论与网络流理论,高随祥,高教社 通信网图论及应用, 刘焕淋, 陈勇 ,人民邮电 电网络理论(图论，方程 综合)周庭阳,张红岩;械工业出版社 图论导引，（美）Douglas B. West 社 译 李建中 ，机械工业出版
内容:关系与函数.
第一章 图的基本概念(1)
定义1 图G是一个三元组,记作 (1) V (G) {v1, v2 ,, vn } (2) E(G) {e1, e2 ,, em}
G V (G ), E (G ), (G )
其中
V (G ) ,
称为图G的结点集.
是G的边集合,其中 ei 或 {v j , vt } 或
若第 i 年初作了决策 X i 后，第 i+1 年初可以作决策 X i 1 ，则顶点 X i 与 X i 1 之间有弧( X i , X i 1 )，其权 W( X i , X i 1 )代表第 i 年初到第 i+1
(1) 年初之间的费用.例如，弧 ( X 3b , X 4 r ) 代表第三年初买新设备，第四 年初决定用第三年买的用过一年的旧设备，其权则为第三年初的购 臵费与第三、第四年间的维修费之和，即为 12＋5＝17.
v j , vt 为边。
{v j , vt }, 称 ei 为以 v j , vt 为端点的无向边。 若 ei 为 v j , vt , 称 ei 为以 v j 为起点， vt 为终点的有向边。
若 ei 为
(G) : E V V
称为关联函数.
第一章 图的基本概念(2)
定义2. 邻接结点:关联于同一条边的两个结点. 孤立结点:不与任何结点相连接的结点. 邻接边:关联于同一顶点的两条边. 环:两端点相同的边称为环或自回路. 平行边:两个结点间方向相同的若干条边称为平 行边或重边. 对称边:两端点相同但方向相反的两条有向边.

4.图的作用
图是一种表示工具,改变问题的描述方式,往往 是创造性的启发式解决问题的手段. 一种描述方式就好比我们站在一个位臵和角度 观察目标,有的东西被遮挡住了,但如果换一个位臵和 角度,原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的 描述方式,可能会产生新思想. 图论中的图提供了一种直观,清晰表达已知信息 的方式.它有时就像小学数学应用题中的线段图一样, 能使我们用语言描述时未显示的或不易观察到的特 征、关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和思 考问题,激发我们的灵感.
(1) ( 2) (1) ( 2) X 1b X 2 X X X X r 3r 4b 5r 6r ; (1) (1) ( 2) ( 3) X 1b X 2 X X X X r 3b 4r 5r 6r 因此，计划为第一、第三年初购臵新设备，或第一、第四年初购臵 新设备，五年费用均最省，为 53.
(k ) （3）问题转化为顶点 X 1b 到 X 6 的最短路问题.五年的最优购臵 r 费为
k 1,2 ,3,4 ,5
min {d ( X
1b
(k ) , X6 r )}
(k ) (k ) X X 其中 d( X 1b , X 6 ) 为顶点 到 1b r 6r 的最短路的权. 求得最短路的权为 53，而两条最短路分别为
可化为最短路问题的多阶段决策问题
例 1 设备更新问题：企业使用一台设备，每年年初，企业领导 就要确定是购臵新的，还是继续使用旧的.若购臵新设备，就要支 付一定的购臵费用；若继续使用，则需支付一定的维修费用.现要 制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内总的支付费用最 少. 已知该种设备在每年年初的价格为： 第一年 第二年 第三年 第四年 11 11 12 12 使用不同时间设备所需维修费为： 使用年限 维修费 0－1 5 1－2 6 2－3 8 3－4 11 第五年 13 4－5 18

δ+(G)=min{d+G(x)|x∈V(G)}.
Δ-(G)=max{d-G(x)|x∈V(G)};
δ-(G)=min{d-G(x)|x∈V(G)}.
第二节 图的顶点度和图的同构(1) 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K, 则称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的 每个结点x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图. ( G ) ( G ) ( G ) (G) K , 在有向图G中,若 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理) 每个图中,结点 度数的总和等于边数的二倍,即

第一章 图的基本概念(4)
说明:(1)在简单图G V (G ), E (G ), (G ) 中,以x为起点y为终
点的边至多有一条,因此,图中的边可直接用顶点对表
示,而关联函数 就可以直接表示在其边集中,故可简
记为G=<V(G),E(G)>.
(2)对无向图G,将G中的每条边用两条与e有相同端点对 称边e和e’来代替后得到一个有向图D,这样得到的有 向图D称为G的对称有向图.由此可见,无向图可视为 特殊的有向图.
i 1 p
i 1

故 (d1, d 2 ,..., d p )中由偶数个奇数顶点,从而将所有与奇数di 相对应的顶点vi两两配对并连上一条边.最后所得的序列 就是 d1, d 2 ,..., d.p
构造加权有向图 G1(V,E)
(k ) （ 1 ） 顶 点 集 V ＝ { X ib , i=1,2,3,4,5}∪{ X ir , i=2,3,4,5,6; k =1,2,…,i-1}, 每个顶点代表年初的一种决策， 其中顶点 X ib 代 (k ) 表第 i 年初购臵新设备的决策， 顶点 X ir 代表第 i 年初修理用
1.图论问题的起源

18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它 们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于 这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发， 经每座桥一次且仅一次回到出发点？”