例1 M的字母表A＝{0，1，b}，b表示空格。状态集Q ＝{q1，q2，q3}，其中，指定q1是开始状态，q3是终止状 态。
M的程序（控制器的命令）如下：
q1 0 1 R q1； q1 1 0 R q1； q1 b b R q2； q2 b b L q3； q2 0 0 H q1； q2 1 1 H q1； 对图灵机的工作过程从不同的角度考察，可以给予不同 的解释。
递归函数、Turing机等 (1) s(x)＝x＋1 （后继函数） (2) o(x)＝0 （零函数）
(3) Uj(n)(x1，x2，…，xn)＝xj （射影函数）
由初始函数和有限次使用算子可以构造各种复杂的递归函 数，或者可计算函数。
图灵机的示意图
控制器的命令可表示为：
（状态，符号）→（写符号，移动，状态）；
二进制和十进制一样，是一种数制，它用于表示数的符号 （数字）由于在书写中的位置不同而具有不同的值。二进制 表示数的符号只有两个，即0和1，其数值与十进制中的0和1 相同。此外，与十进制不同之处在于二进制数是逢二进一。
图灵奖(A.M. Turing Award)，由美国计算机协会(ACM)于1966年设 立，又叫"A.M. 图灵奖"。
专门奖励那些对计算机事业作出重要贡献的个人。其名称取自计算机科 学的先驱、英国科学家阿兰·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing）。 由于图灵奖对获奖条件要求极高，评奖程序又是极严，一般每年只奖励 一名计算机科学家，只有极少数年度有两名合作者或在同一方向作出贡 献的科学家共享此奖。因此它是计算机界最负盛名、最崇高的一个奖项， 有"计算机界的诺贝尔奖"之称。
沿着这样一种思路，图灵机被证明具有很强的计算能力， 它与30年代发展的递归函数论（一种能行可计算性理
论）中一类最一般的可计算函数（部分递归函数或部分可 计算函数）在计算表达能力上是等价的。然而，图灵机简 洁的构造和运行原理隐含了存储程序的原始思想，深刻地
揭示了现代通用电子数字计算机最核心的内容。 图灵奖 2.1.2 二进制 也许是图灵机读写带上只出现两个符号启发了研究者，
在当时的技术条件下，从便于元器件的设计和制造考虑， 计算机的研制很自然地选择了二进制。后来的实践也证明 了这种选择具有极大的优点。
十进制数的表示 例如，1997.630这个数可以写成： 1997.630＝1×103＋9×102＋9×101＋7×100
＋6×10-1＋3×10-2＋0×10-3
图灵奖
从1966年到2015年，50届，共64名得主，按国籍分，美国学者最多， 欧洲学者偶见之，华人学者目仅有2000年图灵奖得主姚期智(现在清华 大学)。
据统计，截止2016年4月，美国著名学府加州大学伯克利分校的图灵奖 人数（校友或教职工）位列世界第一（22位），斯坦福大学的图灵奖人 数位列世界第二（20位），排名世界第三的是美国麻省理工学院（19 位）；哈佛大学（13位）和卡耐基梅隆大学（12位）分列世界第四和第 五名。
(1) s(x)＝x＋1； (2) o(x)＝0； (3) A(0，y)＝y＋1，
A(x＋1，0)＝A(x，1)，
A(x＋1，y＋1)＝A(x，A(x＋1，y))。
第一和第二个函数读者不难从图灵机的定义出发感悟到 它们是图灵机可以计算的函数，而第三个函数就比较复杂， 一时难于判断。顺便提一下，第三个函数叫做阿克曼函数， 它是阿克曼（W.Ackermann）在研究原始递归函数和递 归函数的关系时给出的。这个函数在计算理论中具有重要 价值。事实上，图灵机还可以计算形式上比第三个函数更 复杂的函数。
┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬── │０│０│０│１│１│１│０│１│１│１│ ┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──
↑ ┌─┐ ││ ┌┘ └┐ │控制器│ └───┘
一旦图灵机在运行中进入了一个状态，而且这个状态 是一个结束状态，那么，图灵机就停机，计算任务宣告完 成，此时带上的内容就是计算的输出结果。
第一，把图灵机看作识别器，即判断带子上最初的内
容能否被图灵机所接受。假定图灵机从左向右扫描完带子上 的内容后停机则为接受，否则为不接受。
例2 一台图灵机可以设计成识别下面的序列：
1000110, 10011101, 010101011。 第二，把图灵机看作生成器，对给定的输入集合，考察输 出集合，并研究输入输出集合性质之间的关系，这就研究了 图灵机的生成能力。 例3 设一台图灵机的输入集合为In＝{1n0n│n∈N}，可设 计一台图灵机，对给定的输入集合In，得到输出集合Out＝ {0n1n│n∈N}。其中，N是全体自然数的集合。 第三，把图灵机看作计算器，相当于一个函数。图灵机的 输入是函数的自变量的值，图灵机的输出是函数的值。 例4 图灵机可以计算下列函数：
所谓计算模型是刻划计算这一概念的一种抽象的形式系 统或数学系统，而算法是对计算过程步骤（或状态的一种刻
划，是计算方法的一种能行实现方式。在计算机科学中，我 们通常所说的计算模型，并不是指在其静态或动态数学描述 基础上建立求解某一(类)问题计算方法的数学模型，而是指
具有状态转换特征，能够对所处理的对象的数据或信息进行 表示、加工、变换、输出的数学机器。由于观察计算的角度 不同，产生了各种不同的计算模型。
一般地，任何一个十进制数S都可以表示为：
S＝knkn-1 … k0.… k-m
＝kn×10n＋kn-1×10n-1＋…＋k0×100＋…＋k-m×10-m
-m
＝ ∑ ki×10i
i＝n
其n为中正，整10数称。为小十数进点制的的位基置数不,k言i∈自{明0,1。,2,3,4,5,6,7,8,9}，m，
计算科学的基本概念和基本知识
1.1 计算模型与二进制 数学不等于计算，但数学确实起源于对计算的研究。
数学、计算模型（计算方法、数学机器）、形式化与形 式化方法
我们说，形式是事物的内容存在的外在方式、形状和结 构的总和。所谓形式化是将事物的内容与形式相分离，用事 物的某种形式来表示事物。形式化方法是在对事物描述形式 化的基础上，通过研究事物的形式变化规律来研究事物变化 规律的全体方法的总称。 1.1.1 计算模型与图灵机