f或
c
f)就行了；在双向受力
t
状态下，对不同的应力比
σ1σ作了大量的实验，可通过
2
f，
c
f和
t
f（等轴双压强
bc
度）的包络曲线来表示，在三向受力状态下．问题更加复杂，混凝土的强度要考虑
不同应力分量之间的相互影响，就要用应力状态的某种函数来表达，在三维空间可
用一个破坏包络曲面来表示。这一问题很早就得到了研究．在材料力学中就提出过5
mlimτ2⎥
=∫
⎢
r→0
⎣⎦
S
经积分运算后可得
1I
σ1（4-25）
m=σ+σ+σ=
()
123
33
12
τm=σ−σ+σ−σ+σ−σ=（4-26）
()()()
222
J
135
22312
15
以下说明应力和应力偏量的几何意义：今取
σ为坐标轴，称为主应力坐
1,σ,σ
23
标轴。这一坐标轴所示的空间称为主应力空间。在此坐标系中取任一点P(1,σ,σ)
将八面体应力分解为正应力(与等倾面垂直)与剪应力(在等倾面内)，称为八面体正应
力与剪应力，常用
σ与τ表示。由微体平衡条件可以求得其与主应力及应力状态
octoct
的不变量有如下关系：
图4-4
1
Iσ
σ=1++==（4-21）
()
σσσ
1
oct23m
33
7
12
τoct=σ−σ2+σ−σ+σ−σ=(4-22)
⎧σ⎫
1
⎪⎪
σ
⎨⎬
2
⎪⎪
σ
⎩⎭
3
=
2
J
2
3
⎧
⎪
⎛+
sin⎜θ
σ
⎝
⎪
⎪
⎨
sinθ
σ
⎪
⎪⎛−
sin⎜θ
⎪
σ
⎩⎝
2
3
π
2
3
π
⎞⎫
⎟
⎠
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎞⎪
⎟
⎪
⎠⎭
+
1
3
⎧I⎫
1
⎪⎪
⎨I
⎬
1
⎪⎪
I
⎩⎭
1
（4-20）
例：已知某应力状态
σ
ij
=
⎡16
⎢
8
⎢
⎢
6
⎣
8
10
−5
6⎤
⎥
−5
⎥
⎥
8
⎦
试求其主应力。
6
1++=解：(16108)11.333
面)上截面的外形曲线还是在子午面(θ＝常量的平面)上的截线均是光滑的凸曲线。
(3)在θ＝常数的子午面上的截线是曲线，不是直线；在ξ＝常数偏平面上的外
形曲线是非圆曲线，但随着ξ的增大而越来越接近圆形。
图4-3
4.4.2一参数至五参数混凝土强度准则模型
1.应力状态不变量及其几何意义
在单轴应力状态下确定混凝土的强度用一个指标(
达，如图4-2a ,b所示。偏平面就是与静水压力轴垂直的平面，通过原点的偏平面称π
平面。拉压子午面为静水压力轴与一主应力轴(如σ轴)组成的平面，同时通过另两
3
个主应力轴(σ和σ)的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午
12
线。
拉子午线的应力条件为
σ1≥σ=σ，线上的特征强度点有单轴受拉(
主应力偏量的3个主值(三次方程有3个根)。
进而可求出3个主应力值
⎧σ⎫
1
⎪⎪
σ
⎨⎬
2
⎪⎪
σ
⎩⎭
3
=
⎧S
⎪
1
2
3
⎨S
⎪
S
⎩
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
+σ
m
⎧1⎫
⎪⎪
⎨1⎬
⎪⎪
1
⎩⎭
=
2
J
2
3
⎧
⎪
cosθ
⎪
⎪
⎨
cos(θ
cos(θ
⎪
⎪
⎪
⎩
−
+
⎫
⎪
⎪
2⎪
π)
⎬
3
⎪
2
⎪
π)
⎪
⎭
3
+
1
3
⎧I⎫
1
⎪⎪
⎨I
⎬
1
⎪⎪
I
⎩⎭
1
(4-16)
⎪
⎩r
3
=
=
3
4
cos3θ
4
即
⎧
4J
r=
2
⎪
⎪
3
⎨
4J
⎪
cos3θ=
3
⎪
⎩r
3
（4-14）
5
则与下列三角恒等式相同
31
cos3θ−θ−θ≡（4-15）
coscos30
44
所以由式(4-14)决定的r，θ必可满足求主应力偏量的三次方程(4-10)。由r，θ即
可求得主应力偏量S。由式(4-14)求θ时，在0~2π范围内有3个角值，正好可求出
23
f，0，0)
t
和二轴等压(
0,−,)，偏平面上的夹角为θ＝0°；压子午线的应力条件则为
fbc−f
bc
σ1=σ≥σ，线上有单轴受压(
23
0,f)和二轴等拉(f,,0)，偏平面上的夹角θ＝
0,−ttf
ctt
60°。拉压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉(
f,,)。
tttff
tttttt
图4-2破坏曲面的偏平面与子午线
实际上是一种柱坐标．这一坐标就是前面所提到的Haigh-Westergaard坐标，相应地
它所表示的空间也可称为Haigh-Westergaard坐标应力空间。用(ξ,ρ,θ)来表示混凝土
的破坏状态的包络曲面，显得非常直观。可以证明ξ,ρ,θ三个参数与应力不变量有如
下关系
Iσσ ξ=1=3=3
moct
Sij−Sδ=0（4-9）
ij
展开后可得三次方程
S3−JS2−JS−J=(4-10)
0123
式中：
J1=S+S+S=
112233
0
J=−−−+2+2+2
2SSSSSSSSS
112222333311122331
J3=SSS+2SSS−SS2−SS2−SS2(4-11)
112233122331112322313312
个古典强度理论。近十多年来，根据混凝土不同应力比(1σσ
σ：：)下所作破坏实验
23
的结果、又提出了不少破坏准则。
这些破坏准则，是应力状态
σ或其主应力(,,)
σ1σσ的函数。为了表达方便，ij23
3
往往又表示为应力状态不变量或某种应力状态代表值(如八面体应力σoct,τ)的函
oct
数。为了应用方便，我们把应力状态的不变量和一些常用的代表值及其在应力空间
ij
⎡σ
11
21
31
⎢
σ
⎢
⎢σ
⎣
σ
σ
σ
12
22
32
σ⎤
13
⎥
σ
⎥
23
σ⎥
⎦
33
=
⎡σ
⎢
x
τ
⎢
yx
zx
⎢
τ
⎣
τ
xy
σ
τ
y
zy
τ
xz
τ
yz
σ
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
（4-1）
[][][]
σ＝σxσστττ=σ11σ22σ33σ12σ23σ13（4-2）
TT
yzxyyzzx
(4-1)式第一、二列为张量表达式，便于公式堆导，第三列为工程界常用表示法。(4-2)
σ8.4111
3=−+.333=
2.923
求得了主应力值，进而可确定主应力的方向，这里不再细述。
在弹塑性力学中，有几个与应力张量或应力偏量不变量相关的特殊应力，它也
常作为某点应力状态的表征。最常用的是八面体应力。以主应力为坐标轴，与主应
力轴等倾的面有8个。组成一个八面体，如图4-4。等倾面上的应力称为8面体应力，
凝土强度性能能更好、更广泛地进行描述，强度准则的参数有愈来愈多的趋势。本
章除对常用的一至五参数强度准则加以阐述外，还对各强度准则加以分析比较。
4.4.1混凝土破坏面的描述
σ、、来表示，如
1σσ
23
混凝土的弹性极限面和破坏曲面可用三个主应力坐标轴
图4-1所示。为了用数学方法表达方便，又可用应力不变量
I、、来表示，或用
tρ
cc
值接近0.8。可以认为，在静水压小时，偏平面上的断面形状接近光滑的三角形，在
静力压大时．偏平面上断面形状接近圆形，
(4)在纯静水压下会不会发生破坏，还没有试验资料证实，理论上似乎不会。
2
Chinn和Zimmerman(1965)试验做到第一应力不变量
I=−79′
1f还没有破坏迹象，压
c
子午线没有趋向静水压力轴。但也有人有不同见解，因为混凝土材料实际上为非均
4.4混凝土的强度准则
钢筋混凝土结构和构件的非线性分析中的一个重要问题是建立混凝土强度准