▪ (K+r)被除数+r(余数)
▪ 如果余数位数小于r，最左的缺省位数为0。 ▪ 如果余数为0,则r=0。
4.CRC码的校验
• CRC码校验：
– 到达接收方的数据单去除以用来产生 循环冗余校验余数的G（X）。
– 如果余数0，将通过检验。如果余数非 零，将通不过检验。
5.多项式
• 任何一个二进制数序列可以和一个只含有 0和1两个系数的代数多项式建立起一一对 应的关系。因此，用来求CRC码的那个除 数通常用多项式来表示。原因如下：
• CRC接收电路再配上适当的硬件电路不仅可 以检错，而且可以纠错，纠错能力很强特别 适合检测突发性错误，在数据通信中得到较 广泛的应用。
检错性能
• 能检测出全部单个错误 • 能检测出全部随机二位错误 • 能检测出全部奇数个错误 • 能检测出全部长度小于k位的突发错误 • 能以[1-（1/2）k-1]概率检测出长度为（k+1）
码多项式
多项式 二进制序列实例
• 以n=3位二进制数为例
二进制数 对应多项式
000
0
001
1
010
x
011
x+1
100
x2
101
x2+1
111
x2+ x+1
1011011 x6+x4+x3+x+1
x5+x4+x2+x 110110
码多项式
• 码多项式运算法则:
– 二进制码多项式的加减运算为⊕模2加运算， 即两个码多项式相加时，对应项系数进行模 2加减。
– 代数多项式很短 – 可以通过多项式来进行概念的数学证明。
多项式
• 任何一个n位的二进制数都可以用一个n-1 次的 多项式来表示,这种多项式叫码多项式（又叫信息 多项式） 。
• 码多项式与二进制序列之间的一一对应关系：
– （an-1 an-2……a1a0）N
– A (x)= an-1Xn-1+an-2Xn-2 +……+a1X+a0X0
3.CRC码的生成
• CRC码生成和校验基本分为三步： – 第一步：在数据单元(k位）的末尾加 上r个0。r是一个比预定除数的比特位 数(r+1)少1的数。 – 第二步：采用二进制除法将新的加长 的数据单元（k+r位)除以除数。由此 除法产生的余数就是循环冗余码校验 码。
CRC码的生成
▪ 第三步：求CRC循环冗余校验码
–CRC-16：G(x)=X16+X15+X2+1，美国二进制同 步系统中采用。
–CRC-CCITT：G(x)=X16+X12+X5+1，CCITT推荐。 –CRC-32：G(x)=X32+X26+X23+X22+ X16+X12+
X11+X10+X8+1X7+ X5+X4+X2+X+ 1
6.CRC码生成器和校验器
– 乘除运算与普通多项式类似；
• 模2加减：即各位做不带进位、借位的按 位加减。这种加减运算实际上就是逻辑 上的异或运算。即加法和减法等价。
码多项式
• 生成多项式G(x):
– 求CRC码时所用的“除数”所对应的多项 式叫生成多项式。
• 在串行通信中通常使用下列三种生成多 项式G（X）来产生CRC码。
循环冗余校验编码（CRC）
• Cyclic Redundancy checking (CRC)循环 冗余校验，又称多项式码。
• 在循环冗余校验中，不是通过将各比特位 相加来得到期望的校验，而是通过在数据 单元末尾加一串冗余比特，称作循环冗余 校验码或循环冗余校验余数，使得整个数 据单元可以被另一个预定的二进制数所整 除。
位的突发性错误
课堂练习题
• 设某一循环码，其生成多项式为G（X） =X5 + X2+1，试求出信息序列 1101010101011的循环校验码CRC（要求 写出计算步骤）。
• 设某一循环码，其生成多项式为G（X）= X5+X4+ X2+1，试求出信息序列 1010001100的CRC循环校验码（要求写出 计算步骤）。
• 循环冗余码生成器采用模2除法。下图显 示了这一过程。
• CRC校验器的功能完全像发生器一样， 当收到附加了CRC码的数据后，做同样 的模2 除法。如果余数是全0，则将CRC 码丢弃，接受数据。否则，丢弃收到的 数据。
CRC校验码的生成器和校验器
数据 r个比特0数据
数据
g(x) r+1 余数
CRC校验码 r
先发数据位 后发校验位
发送方
g(x) r+1
余数 r
0接收，非0拒绝
接收方
0
G(X)
• 111010100011010
•
CRC校验码
•
信息码
•
CRC冗余校验码
7.CRC码性能
• CRC码是很有效的差错校验方法。除了正好 数据块的比特值是按除数值变化的错误外， 循环冗余校验(CRC)将检测出其他所有错误。 而且，常用的CRC除数通常有17，或是33 个比特，使得不可检测的错误可能降低到几 乎近于零。
（3）接收器用相同的数（生成多项式）去除 传来的帧。如果无余数，则认为无差错；如 果余数不为0，刚认为传输出错。
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2.CRC校验常用场合
• 奇偶校验对一个字符校验一次，适合异 步通讯；而CRC对一个数据块（frame） 校验一次，适合同步通讯。在串行同步 通信中，几乎都使用这种校验方法。如 磁盘信息的读/写等。
1.CRC校验基本思想
• CRC校验的基本思想是：
(1)根据欲发的k位信息生成一个r比特的序 列 ， 称 为 帧 校 验 序 列 FCS （ Frame checking Series）。
（2）求出实际发送的数据帧（k+r位），这 个帧所对应二进制序列恰好能够被某个预先 确定的数（生成多项式）整除。