方法(2)，如图，分别以PM=3-x，AM=1为边和以 PN=x+3，BN=5为边构建使3-x和x+3在同一直线上 的两个直角ΔPAM，ΔPBN，两条斜边的长就是PA=
和PB=
，因此，求Y的最小值就
是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出
BA的长，就是Y的最小值。( 6 2 )
课堂小结
1.轴对称变换的定义； 2.轴对称变换的性质； 3.轴对称变换的应用。
军官每天从军营A出发先到河边P 处饮马，然后再去河岸同侧的B地去开 会，应该怎样走才能使路程最短？
1、作点A关于直线的对称点C. 2、此时点C与点B的最短距离是CB. 3、此时点P就是将军饮马的位置。
证明：如图，在l上任取一点P1，连结P1A,
P1B,P1C, 因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB. 这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结 论成立。
而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，
修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界
胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之
问题本质：
实际上就是“折化直”问题，利用两点 之间线段最短。从数学思想的角度来看，实 际体现了转化思想，通过什么方法来实现转 化思想——轴对称变换。
2、在解题中应用
例1 已知点A的坐标为(2x+y-3,x-2y),它关 于x轴对称的点A'的坐标为(x+3,y-4),则点A关 于y轴对称点的坐标为__________.
解：因为点关于x轴对称的坐标特点是:横坐标 相等，纵坐标相反。所以2x+y-3=x+3，x-2y+y-4=0,
解得x=5，y=1，即点A（8,3）。 关于y轴对称的点的特征是：横坐标相反，纵坐 标相等，因此所求点的坐标是（-8，3）。
例2 在如图中，若A到直线L的距离AC是3 千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD 的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB 的值最小，求这个最小值。
称
AB
A，Biblioteka 对称轴是一的
双
对
对
称 点
应
点
轴对称性质
如果点A不在对称轴上，B是A的对称点， 那么A，B分居直线l的两侧，并且AB⊥l；又 若AB与l的交点为M，则AM=MB（如上图）。
以上性质可简述为： 在轴对称变换下，任意一双对应点的连
线被对称轴垂直平分。
设C是对称轴l上的任意一点，那么在平 面绕直线l翻转180以后，点C保持不动。
点的轴对称变换
实验
用墨水笔在一张矩形白纸的左半部写上号码 “008”，趁墨迹未干，立刻将纸片左右对折，抹 平，重新展开，
这其中含有一种重要的几何变换——轴对称变换。
轴对称变换
如图，设在平面内有一条定直线l，又设A是这平面内的 任意一点，将这平面绕直线l翻转180o，并将点A翻转后的位 置记为B，那么从点A到点B的变换叫做“关于直线l的轴对 称变换”。简称为“轴对称变换”。
由此可见： 在轴对称变换下，对称轴上的任意点变 成它自己。
剪 纸 欣 赏
轴对称作用
1.可以通过对称轴的一边从而画出另 一边。
2.可以通过画对称轴得出的两个图形 全等。
3.扩展到轴对称的应用以及函数图像 的意义。
轴对称应用
1、经典问题：将军饮马
传说亚历山大城有一位精通数学 和物理 学者，名叫海伦。一天，一位 罗马将军专程去拜访他，向他请教一 个百思不得解的问题：
心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好
人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。
贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎
体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善
微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是
体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指
笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。
行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎
知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二
己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。
谢谢指导！
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长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进
反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有
事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己
解：如图，只要过A1点画直线L的平行线与BD 的延长线交于H，在RtΔA1BH中，A1H=4千米， B即HP=A4+千PB米的，最用小勾值股为定4理2求千得米A。1B的长度为 4 2千米。
例3 求函数
的最小值。
解：方法(1)，把原函数转化为
，
因此可以理解为在x轴上找一个点，使它到点(3,1)和
(-3,5)的距离之和最小。