数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。
8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
1 行列式的性质1.1 性质1 把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。
即：aaaa a a a a a nn n n nn 212222111211=aaaa a a a a a nnn n n n 2122212121111其实，元素aij在1的右端位于第j 行第i 列，即此时i 是列指标，j 为行指标。
在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。
1.2 性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。
因为aaaka ka ka aaannn n ini i n212111211=Aka Aka A ka inini i i i 2211Aa Aa A a inini i i i k2211=aaaa a a aa annn n ini i nk212111211即当k =0时，就有行列式为零。
1.3 性质 3 如果行列式的某一行或一列的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行或列而其余行或列不变的两个行列式的和。
aaac b c b c b aaannn n nnn21221111211=Ac Ac A c Ab A b A b Ac b A c b Ac b inni i inni i innni i 22112211222111=aaab b b aaann n n nn112111211aaac c c aaannn n nn2121112111.4 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
证明：设行列式aaaa a a a a a aa annn n knk k ini i n21212111211=a a a a njkjijj j j j j j j nkinnk i 111112中第i 行与第k 行相同，即.,,2,1,n j aakjij为了证明2为零，只须证明2的右端所出现的项全能两两相消就行了。
事实上，与项a a a a njkjijjj j j j nkink i 1111同时出现的还有a a a a njkj ijjj j j j niknk i 1111。
比较这两项，由3有a a a a kjijkj ij kkii,也就是说，这两项有相同的数值。
但是排列jjjjnki1与jjjjnik1相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。
易知，全部n 级排列可以按上述形式两两配对。
因之，在2的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式为零。
1.5 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
证明02121211121121212111211aaaa a a a a aaa a aaaka ka ka aaaaa annn n ini i ini i nnn n n ini i in i i nk.这里第一步根据性质2，第二步根据性质 4.1.6 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
设aaaa a a ca a ca aca a aaann n n knk k knink i k i n2121221111211=a aaa a a a a a aa annn n knk k ini i n21212111211+aaaa a a a a a aa aaaaa a a ca ca ca aaannn n knk k ini i nnn n n kn k k knk k n2121211121121212111211这里，第一步根据性质3，第二步根据性质5.根据性质6即得1.7 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
证明a aaa a a aaaaa a aaaaaaa a a a a a aa annn n knk k knink i k i nnn n n knk k ini i n212122111121121212111211=aaaa a a aaaa a aaaaaaa a aa aa a aaannn n ini i knk k nnn n n ini i knink i k i n212121112112121221111211=aaaa a a aaaa a annn n ini i knk k n21212111211这里，第一步是把第k 行加到第i 行，第二步是把第i 行的1倍加到第k 行，第三步是把第k行加到第i 行，最后再把第k 行的公因子1提出。
2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3,ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n 321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja ja j a j a nn332211的代数和,这里jjj j n,,,,321为1,2,3,,,,n 的一个排列,每一项<Ⅱ＞都按下列规则带有符号,当jjj j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jjj j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a Da a a a a a .分析观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212nj jnja a a 则12512125()12(1)n j j j nj j nj j j j D a a a .（3）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D =0.注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。
适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值。
运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式。
ⅰ若D D n np 1时，则Dp Dn n11ⅱ若DA DA Dn n n2211时，则tA tA Dn n n122111（其中A 1，A 2为待定系数）ⅰ的计算过程显然易见，而ⅱ中却出现了两个未知数，t 1,t 2,这两个未知数可以通过0212AA x x 的两根来确定。
例2.2求行列式的值：（4）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。
又右下角的（n）表示行列式为n 阶。
解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。
把（4）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（5）移项，提取公因子β：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：∴，当β≠α（6）当β= α，从从而。
由（6）式，若。
∴注递推式（5）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式（6）和三对角线型行列式（7）有相同的递推关系式（8）（9）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（8）和（9）的构造也相同，故必有由（7）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。