(2)同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以n速率增长。家庭 的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借 给厂商。家庭拥有数量为K(0)／H的初始资本[其中K(0)是经济中的资本初始量，H 为家庭数量]。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储 蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。
家庭行为－预算约束（续）
在s时刻，家庭资本持有量为：

W

t

C

t

Lt
H
dt（ 5-9）
上式中， eRs K 0 表示在s时刻家庭初始财富对其总财富的
H
贡献。在t时刻，家庭的储蓄是
W

t


厌恶系数(它被定义为 Cu'' C )是θ，它独立于C。 u' C
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态 度并不直接相关，其实θ也决定了家庭将消费在不同时期的转 移意愿：θ越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢， 导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果θ接近于 零，这样，效用对于C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意 接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获 得的报酬率之间的差额。
C

t

Lt
H

dt
(可以是负值)；
eRsRt 则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。
式(5-9)表达式是 eRs 与式(5-8)的大括号中的表达式的乘
积，预算约束写成下式：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
lim eRs K s 0（ 5-10）
K 0
H


0
eRt
W

t


C

t

Lt
H

dt

0（ 5-7）
我们可以写出从t＝0到t=∞的积分形式作为一种极限。这样，
式(5-7)就等价于：
K 0
lim[ s H
s 0
eRt
W

t


C

t

Lt
H

dt]

0（ 5-8）
第一节 拉姆齐问题
eRtC t L t dt K 0 eRtW t L t dt（ 5-6）
0
H
H
0
H
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
在许多情况下，对式(5-6)进行求解是困难的。因此，我们可 以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们 对式(5-6)整理如下：
率， ρ越大，则家H 庭对未来消费的估价就越小。
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
瞬时效用函数可以采取如下的形式：
u C t C t1 0, n 1 g 0（ 5-2）
1
这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是 著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险
s
H
式(5－10)就是著名的非蓬齐博弈条件(No-Ponzi-game)。蓬齐
第一节 拉姆齐问题
厂商行为
厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生
产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。
由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得
正常利润。我们知道，资本的边际产品F为K, AL =f ' k
K
。由于市场是
竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实
第五章 无限期界与代际交叠模型
第一节 拉姆齐问题 第二节 拉姆齐模型的动态分析 第三节 代际交叠中的两期寿命 第四节 戴蒙德模型的动态分析
引言
索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不 予解释。拉姆齐-卡斯-库普曼模型（Ramsey－Cass－Koopmans ） 与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次 上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大 化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不 是外生的了。
报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：
r t f ' k t（ 5-3）
第一节 拉姆齐问题
厂商行为（续）
劳动的边际产品为 F K, AL ，它也等于 AF K, AL 。根据
L
AL
上述生产函数的紧凑形式，它可写成A f k kf ' k 。因此在c
附录－拉姆齐模型概述
第一节 拉姆齐问题
模型假设条件
拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解， 此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：
(1)存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为Y=F(K,AL)。 厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场 出售产品。与索洛模型相同，厂商将A取做给定的，A以g速率外生地增 长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润 归于家庭。
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数
设家庭具有以下效用函数：
U


0
etu
C
t
Lt
H
dt（5-1）
上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U(·)是
瞬时效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)／H是每个家庭的
成员人员。u C t Lt 是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是贴现
时刻，真实工资是：
W t At f k t k t f ' k t （ 5-4）
这样，每单位有效劳动的工资是：
wt f k t k t f ' k t（ 5-5）
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束
假设家庭对于r和w的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费 的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设 每个家庭有L(t)／H个成员，在t时刻其劳动总收人为W(t)L(t)／H， 其消费支出为C(t)L(t)／H。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总 初始财富的1／H，或等于K(0)／H。因此，家庭预算为：