习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。

（1）i 231+； （2）i13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−−所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+− ()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。

解：由于()()[]()()()3i 53i 53i 53y i 1x 3i53y i 1x −+−−++=+−++()()()()[]343y 51x 3i 3y 31x 5−++−+−++=[]()i 1185y 3x i 43y 5x 341+=−+−+−+= 比较等式两端的实、虚部，得⎩⎨⎧=−+−=−+34185334435y x y x 或 ⎩⎨⎧=+−=+52533835y x y x 解得11,1==y x 。

3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i -1=i 。

4．证明21)||116)Re()(),Im()(22iz zz z z z z z =z =+=#−证明：可设i z x y =+，然后代入逐项验证。

5．对任何，是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对那些值才成立？z 2||z z =222z 解：设，则要使成立有i z x y =+2||z z =2222i x y xy x −+=+y 0，即。

由此可得为实数。

2222,x y x y xy −=+=z 6．当时，求的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。

1||≤z ||a z n +解：由于|a||a||z|a z nn +≤+≤+1，且当na ez arg i=时，有()|a|e a |a|e e a|z a a nn a n+=+=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+|11arg i arg i arg i 故为所求。

||1a +8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

（1）i ； （2）-1； （3）1+3i ；（4）()π0isin cos 1≤≤+−ϕϕϕ； （5）i 12i+−； （6）()()32isin3cos3isin5cos5ϕϕϕϕ−+ 解：（1）2πi e 2πisin 2πcos i =+=；（2）i πe isin πcos π1=+=−（3）3πi 2e 3πisin 3πcos 223i 2123i 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+； （4）21cos isin 2sini2sincos2sinsin icos 222222ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞−+=+=+⎜⎟⎝⎠π)(0,e22sin 2πisin 2πcos 22sin 2πi≤≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=−ϕϕϕϕϕϕ；（5）()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=−−=+−21i 212i 1i 12i 21i 12i ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4πisin 4πcos 2=4πie2−（6）()()()()223i5i3i10i9i193cos5isin5e /e e /e e cos3isin3ϕϕϕϕϕϕϕϕ−−+==−ϕ=ϕϕisin19cos19+=9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式：1111,;x x a y y b =+⎧⎨=+⎩2）旋转公式：1111cos sin ,sin cos .x x y y x y αααα=−⎧⎨=+⎩解：设11i A a b =+，11i z x y 1=+，i z x y =+，则有 1）；2）1z z A =+i 11(cos isin )e z z z ααα=+=。

10．一个复数乘以-i ，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数，则z e z z Arg i ||=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⋅||=−2Arg i 2i Arg i πz πz |z|e e e z i z ，可知复数的模不变，辐角减少2π。

11．证明：，并说明其几何意义。

222121212||||2(|||z z z z z z ++−=+2|)证明：2212121212121211222212||||()()()(2()2(||||)z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++−=+++−−=+=+) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。

12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数()()()P z R z Q z =可以化为i X Y +的形式，其中X 与Y 为具有实系数的x 与的有理分式函数；y 2）如果()R z 为1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么(i R z X Y =−； 3）如果复数i a b +是实系数方程10110n n n n a z a z a z a −−++++="的根，那么也是它的根。

i a b −证 1）()()()Re(()())Im(()())()()(,)(,)()()P z P z Q z P z Q z P z Q z R z Q z q x y q x y Q z Q z ===+; 2）()()()()i i ()()()P z P z P z R z X Q z Q z Q z ⎛⎞Y X Y ====+=−⎜⎟⎝⎠; 3）事实上()1011n n n n P z a z a z a z a −−=++++"()z P z a z a z a a n n =++++="221013．如果，试证明 it e z =（1）nt zz nn cos 21=+； （2）nt z z n n sin i 21=− 解 （1）nt e e e e z z n n sin 21int int int int =+=+=+− （2）nt e e e e zz n n sin i 21int int int int =−=−=−−14．求下列各式的值 （1）(5i 3−)； （2）()6i 1+； （3）61−； （4）()31i 1−解 （1）()()6/5i 56/i 553222i 232i 3ππ−−==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−e e5π5π32cos isin 16i 66⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−+−=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦（2）())666i /43i/21i 8e 8i ππ⎤+====−⎥⎦。

（3()()1i π21/6i π+26ee,0,1,2,3,4,5k k k π+===。

可知61−的6个值分别是,2i 23e /6i +=πi e /2i =π，2i 23ei /65i +−=π 2i 23e /6i7−−=π，，i 23i −=/πe 2i23411i −=/πe 。

（4）()()0,1,2=,==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2−212=−13⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−31/−3131k eek πππ24i 64i 22i i 。

可知的3个值分别是()1/31i −,127sin i 127cos 22,12sin i 12cos 22612/7i 662/i 6⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−ππππππe e⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=45sini 45cos 2264/5i 6πππe 。

15．若(1i)(1i)nn+=−，试求n 的值。

解由题意即i /4i /4i /4i /4)),e e nn n n ππππ−−==，sin ，04nπ=故4,0,1,2,n k k ==±±"。

16．（1）求方程的所有根 083=+z （2）求微分方程08'''=+y y 的一般解。

解 （1）()()1i123382k z eπ+=−=，k=0,1,2。

即原方程有如下三个解：,3i 1+ ,2− 3i 1−。

（2）原方程的特征方程有根083=+λi 311+=λ，22−=λ，i 313−=λ，故其一般形式为()x C x C e e C y x x 3sin 3cos 3221++=−17．在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置： z111,,,,,z z z z z z−−−。