高等数学公式导数公式：基本积分表：kdx kx C =+⎰（k 为常数） 11u ux x dx C u +=++⎰1ln dx x C x =+⎰ 21arctan 1dx x C x =++⎰arcsin x C =+ cos sin xdx x C =+⎰sin cos xdx x C =-+⎰221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ sec tan sec x xdx x C =+⎰csc cot csc x xdx x C =-+⎰ x xe dx e C =+⎰ln xxa a dx C a =+⎰两个重要极限：三角函数公式：sin 22sin cos ααα= 2222cos 22cos 112sin cos sin ααααα=-=-=-22sin cos 1αα+= 22sec 1tan αα=+22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln 1(log )ln x x a x x x x x x x x x x a a ax x a'='=-'=⋅'=-⋅'='=22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arccot )1x x x x x x '='='=+'=-+0sin lim 11lim(1)x x x x x e x →→∞=+=零点定理： 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 上至少一点ε，使()0fε=。

（考点：利用定理证明方程根的存在性。

当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理：如果函数()f x 满足三个条件： （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使得()'0f ε=。

（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足 （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导，那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使等式()()()()f b f a f b a ε'-=-成立。

（证明题） 定积分应用相关公式函数的平均值()1b ay f x dx b a =-⎰空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离)()(1221121d M M x x y y z ==-+-+-向量b 在向量a 方向上的投影()Pr j cos ,a b b a b = 设(),,x y z a a a a =，(),,x y z b b b b =，则两向量的数量积cos x x y y z z a b a b a b a b a b θ⋅=⋅=++是一个数，θ为a 与b 的夹角； a 与b 的夹角 cos xyzxa b a b a b a a a b θ++=++⋅+。

两向量的向量积xy z xy zij ka b a a a b b b ⨯=，sin a b a b θ⨯=⋅。

（考点：利用向量积求三角形的面积）平面的方程：1、点法式方程：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，其中{},,n A B C =为平面的法线向量，()0000,,M x y z 为平面上的一点。

2、一般式方程：0Ax By Cz D +++=，其中平面的一个法线向量{},,n A B C =。

3、截距式方程：1x y za b c++=，,,a b c 为平面在,,x y z 轴上的截距。

平面外任意一点到该平面的距离：d =。

、空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）000x x y y z z t m n p---===，其中直线的一方向向量(),,s m n p =； 2、直线的参数方程：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zudy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

在是单位向量。

方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f lfl j i e e y x f lf jyf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∂∂=ϕϕϕϕϕ多元函数的极值及其求法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x曲线积分：⎩⎨⎧==<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y tx dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lϕβαψϕψϕβαψϕβα 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y P x Q yP xQ G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D LDL LLLβαβαψψϕϕψϕψϕβα三个常用的正项级数：1、等比级数 11n n aq ∞-=∑ 当1q <时，该级数收敛于1aq-； 当1q ≥时，该级数发散。

2、p 级数 11p n n∞=∑ 当1p >时，该级数收敛；当1p ≤时，该级数发散。

特别地，当1p =时，11n n ∞=∑称为调和级数。

级数审敛法：散。

存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。