10
直角坐标下潮流方程

直角坐标下待求变量

直角坐标下功率方程
P 1 Pn Q 1 f ( x) Qn r V 2 n r 1 V 2 n
11
e1 en x f1 fn
G cos G sin B cos B sin
28
定Jacobian算法

考虑到正常情况下，ij 很小 节点自导纳要远大于节点注入功率
B G J J0 G B
'

则定Jacobian矩阵的潮流计算修正方程为
BH GM GN V P / V BL V Q / V
P T e Q f J T T x e 2 V eT
V 2 f T P f T Q f T
22
极坐标下牛顿-拉夫逊方法
P SP P(V , ) P(V , ) f ( x) SP Q ( V , ) Q Q ( V , )
电力系统潮流计算（1）
华北电力大学电气与电子工程学院 孙英云 Email: sunyy@ 办公室：教五 C204
1
问题

什么是潮流计算？

什么是潮流？ 什么是计算？ 电力系统状态不可直接测量 潮流和电力系统运行状态的关系 电力系统分析、计算的需要

为什么要进行潮流计算？

忽略高阶项，则有
f ( x ) f ( x )x
0
18
牛顿-拉夫逊法潮流计算

牛顿法的几何意义
19
牛顿-拉夫逊法潮流计算

牛顿法计算流程 1 初始化，形成节点导纳阵，给出初值 2 令k=0 进入迭代循环


(k )
x (0)

2.1 计算函数值 f ( x(k ) ) ，判断是否收敛 f ( x ) 2.2 计算Jacobian矩阵 f ( x( k ) ) 2.3 计算修正量 x( k ) (f ( x( k ) ))1 f ( x( k ) ) 2.4 对变量进行修正 x( k 1) x( k ) x(k ) ，k=k+1返回 2.1
H J M R N L S

极坐标
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij ) ji Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij ) ji
H J M
N L

3 输出计算结果
20
牛顿-拉夫逊法潮流计算

牛顿法可写成如下简单迭代格式
x( k 1) x(k ) ( J ( x(k ) ))1 f ( x(k ) ) ( x(k ) )
( x) J 1 J 1 1 ( x) ( x) I T f ( x) J T f ( x) T T x x x x
7
极坐标功率平衡方程

V 如果将节点电压用直角坐标表示，即令 V i i i 则有：
Pi jQi Vi i (Gij jBij )V j j
ji
=Vi (Gij jBij )(cos ij j sin ij )
ji
i 1, 2, N

极坐标潮流方程的已知量和待求量？
13
潮流方程的解法

潮流方程是一组高维非线性方程组 所有能用于求解非线性方程组的方法都可以用 于求解潮流方程



Gauss法（简单迭代法） Newton法（包括其变形算法） 割线法 拟牛顿法 ……
14
以Gauss法为基础的潮流方 程解法

待求方程 高斯迭代法
P T J Q T
P V T V Q V T V
P T Q T
P V T P V Q V Q V V V T
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潮流计算速度

目前的主流潮流计算算法都是迭代算法

计算时间=迭代次数×每次迭代所需计算时间

提高计算速度的两条思路

减少迭代次数 高阶收敛性算法 减少每次迭代所需时间 定Jacobian方法
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定Jacobian算法

2 V 将极坐标Jacobian矩阵中的 移出矩阵
' V H P ' VQ M
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin Bij ) ji Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos Bij ) ji
i 1, 2, N i 1, 2, N
8
潮流方程的讨论和节点类型 的划分


对于电力系统来讲，每个节点有四个运行变量 （电压×2，功率×2），两个功率平衡方程 （有功、无功） 负荷节点
N ' VP P V ' Q VQ L V
B sin Q P G sin P Q
H' J ' M
N ' B cos ' L G cos
17
牛顿-拉夫逊法潮流计算

牛顿法的历史 牛顿法基本原理

对于非线性方程 f ( x) 0 给定初值 x (0) 用Talor级数展开，有：
(0) x f ( x (0) x (0) ) f ( x (0) ) f ' ( x (0) )x (0) f '' ( x (0) ) 2! 0 (0) ' (0) (0)

令 则有
I YV Yn V n n s s
Yn L + D + U

= D-1 (I -YV - LV - UV ) V n n s s n n
ˆ i 1 n 1 S ( k ) ( k ) Y V YV i YisV s ij j ij j ˆ Yii V (k ) j 1 j i 1 i i 1, 2,, n

( x )的谱半径趋近于0，因此 随着迭代的进行， 越接近收敛点，牛顿法收敛越快，具备局部二 阶收敛性
21
直角坐标下牛顿-拉夫逊方 法
P(e, f ) P SP P(e, f ) SP f ( x) Q(e, f ) Q Q(e, f ) V 2 (e, f ) (V SP ) 2 V 2 (e, f )
直角坐标下潮流方程Pi P Nhomakorabea SP (ei ai f i bi ) 0 Qi QiSP ( fi ai ei bi ) 0 Vi 2 (Vi SP ) 2 (ei2 fi 2 ) 0

直角坐标潮流方程的已知量和待求量？
12
极坐标潮流方程
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin Bij ) ji Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos Bij ) ji
f ( x) 0
x ( x)

x(0) x0

x( k 1) ( x( k ) )
当矩阵的谱半径小于1时收敛，谱半径越小， 收敛性越好
( x* ) ( x) xT x x*
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基于节点导纳矩阵的高斯迭 代法
I Yn Ys V n n YT Y ss Vs s Is
16
( k 1) V i
高斯法的讨论


高斯法可分为基于节点导纳阵的高斯法和基于 阻抗阵的高斯法两种 高斯法的改进 高斯-赛德尔法 高斯法的PV节点处理较为困难

具体可参见 Kusic G L. Computer-aided power systems analysis. Prentice Hall, 1986
P T J Q T
P V T Q V T
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极坐标下牛顿-拉夫逊法

为了使Jacobian矩阵中对电压的偏导项恢复为 关于V的二次函数，在对V的偏导项处乘以一 个V，在V的修正项中除以一个V，则有
x V V
3
简单电力系统等值电路（实例）
输电线路
发电机 升压变压器
配电线路
降压变压器
G
T1
L1
T2
L2
降压变压器
T3
负荷
K1ZT1
G
Z110 Z120
ZL1
K2ZT2
ZL2
K3ZT3
PD+jQD
YL1/2
YL1/2
Z210
Z220
YL2/2
YL2/2
Z310
Z320
4
电力系统稳态模型

发电机

出力可调，机端电压可控：PV或平衡节点
ji
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直角坐标功率平衡方程

e jf 如果将节点电压用直角坐标表示，即令 V i i i 则有：
Pi jQi (ei jfi ) (Gij jBij )(e j jf j )
ji
(ei jfi )(ai jbi )
i 1, 2, N
ai (Gij e j Bij f j ) ji bi (Gij f j Bij e j ) ji i 1, 2, N Pi ei ai fi bi i 1, 2, N Qi fi ai ei bi