第4章 控制系统分析与设计
第4章 控制系统分析与设计
4.1 控制系统的时域分析 4.2 控制系统的频域分析 4.3 控制系统根轨迹法 4.4 状态空间模型的线性变换及简化 4.5 状态空间法分析 4.6 状态空间法设计 4.7 线性二次型问题的最优控制
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4.1 控制系统的时域分析
4.1.1 1. 控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位
斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函 数及正弦函数。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的 时间响应都由动态过程和稳态过程这两部分组成。相应地，控 制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常也由动态性能 指标和稳态性能指标这两部分组成。
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3.
稳态过程又称为稳态响应，指系统在典型输入信号作用下， 当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式。它表征系统输 出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息。
稳态误差是控制系统控制准确度（或控制精度）的一种度 量，也称为稳态性能。若时间趋于无穷时系统的输出量不等于 输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。对于图4.2 所示的控制系统，由输入信号R（s）至误差信号E（s）之间的 误差传递函数为
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功能：计算线性定常系统的零极点，并将它们表示在s复平 面上。
格式：
pzmap（sys） 绘制线性定常系统sys
pzmap（sys1， sys2， …， sysN）在一张零极点图中同
时绘制N
sys1， sys2， …， sysN 的零极点
［p， z］＝pzmap（sys）[ZK(]得到线性定常系统的极点和 零点数值，
第4章 控制系统分析与设计 图4.1 控制系统的单位阶跃响应和性能指标
第4章 控制系统分析与设计 2）峰值时间（Peak time）tp 响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间定义为峰值时 间。
3）超调量（Overshoot）σ%
响 应 的 最 大 偏 差 量 h （ tp ） 与 终 值 h （ ∞ ） 的 差 与 终 值 h （∞）之比的百分数，定义为超调量，即
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE ( s)
lim
s0
1
sR(s) G(s)H (s)
（4.4）
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4.
稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首 要条件。若线性定常连续系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称该系统 渐近稳定，简称稳定; 反之，若在初始扰动影响下， 系统的动 态过程随时间的推移而发散，则称该系统不稳定。
Φe (s)
E(s) R(s)
1 1 G(s)H (s)
（4.2）
第4章 控制系统分析与设计 图4.2 控制系统的典型结构图
第4章 控制系统分析与设计 则系统的误差信号为
e(t) L1[E(s)] L1[Φe (s)R(s)]
（4.3）
当sE（s）的极点均位于s左半平面（包括原点）时，应用拉氏变 换的终值定理可求出系统的稳态误差为
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1） 上升时间（Rise time）tr 对于无振荡的系统，定义系统响应从终值的10%上升到90%所 需的时间为上升时间;对于有振荡的系统，定义响应从零第一次 上升到终值所需要的时间为上升时间。缺省情况下， MATLAB按 照第一种定义方式计算上升时间，但可以通过设置得到第二种方 式定义的上升时间。
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2.
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入 信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 系 统在动态过程中所提供的系统响应速度和阻尼情况等用动态性 能指标描述。
通常，在单位阶跃函数作用下，稳定系统的动态过程随时 间t变化的指标称为动态性能指标。对于图4.1所示的单位阶跃 响应h（t），通常定义动态性能指标为以下几种。
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系统的稳定性分析包括连续时间系统的稳定性分析和离散时 间系统的稳定性分析。
1）
连续时间控制系统稳定的充分必要条件是：其闭环特征方程 的所有根均具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均严格位于 左半s平面。
通常，求解控制系统特征方程的特征根（或传递函数的极点） 比较繁琐困难，所以在控制理论教材中，采用了劳思稳定判据等 方法。此法不用求出特征根（或极点），而是直接根据特征方程 的系数判定系统的稳定性。MATLAB提供了直接求解代数方程根的 函数，利用该函数可以非常方便地求出系统的特征根， 从而判 定系统的稳定性。
说明： ① sys描述的系统是线性定常连续系统和线性定常 离散系统。
② 零极点图中， 极点以“×”表示， 零点以“○”表示。
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【例4.1】 已知连续系统的传递函数为
% h(tp ) h() 100 %
h()
超调量也称为最大超调量或百分比超调量。
（4.1）
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4） 调节时间（Settling time）ts 响应到达并保持在终值±2%或±5%内所需的最短时间定义为 调节时间。缺省情况下，MATLAB计算动态性能时，取误差范围为 ±2%，可以通过设置得到误差范围为±5%时的调节时间。ຫໍສະໝຸດ 第4章 控制系统分析与设计
2）
离散时间控制系统稳定的充分必要条件是：其闭环特征根位 于z平面上的单位圆周内部，即其闭环特征根的模小于1。 当然， 也可以应用Tustin变换将z域特征方程变换到w域， 然后应用连 续时间系统的稳定性分析方法进行分析。
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4.1.2
1.
MATLAB中，可以使用函数pzmap（）绘制系统的零极点图， 也可以使用函数zpkdata（）求出系统传递函数的零点和极点， 还可以通过使用函数roots（）求闭环特征方程的根来确定系统 的极点，从而判断系统的稳定性。对于多输入多输出系统， 可 以使用函数eig（）求出系统的特征值。 2.3节和3.3节已经分别 介绍了函数roots（），eig（）和zpkdata（）的用法， 这里仅 介绍函数pzmap（）。