2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．96．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．10．化简：3（）﹣2（）＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝cm时，使得△ADE与△ABC相似．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是cm．（结果保留整数）16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5【分析】对于四条线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案即可．【解答】解：A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tan B＝＝，故选：C．3．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα＝＝．故选：B．4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴，A正确；∴，B错误；∴，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．5．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7C．8D．9【分析】由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD＝．故选：A．6．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是（）2＝，故答案为：4：9．8．若sinα＝cos60°，则锐角α＝45°．【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵sinα＝cos60°＝×＝，∴α＝45°．故答案为：45°．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan A＝，那么cos B＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．【解答】解：∵tan A＝，∴∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴cos B＝．故答案为：．10．化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝，则AC＝6．【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：∵tan A＝，∴＝，即＝，解得，AC＝6，故答案为：6．12．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC 上，当AE＝或1.5cm时，使得△ADE与△ABC相似．【分析】分两种情形利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：有两种情形：如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝（cm），当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，∴△ADE′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE′＝1.5（cm），故答案为或1.5．14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是10．【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，∴AC＝2÷＝6．在Rt△ADC中，AD＝＝＝10．故答案为：10．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是185cm．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为0.618分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计算即可．【解答】解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为：185．16．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用▷ABC的面积先求出BD，在Rt△BCD中求出∠ACB的正弦．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由题图知：AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，∴×2×2＝×2×BD，∴BD＝．在Rt△BCD中，sin∠ACB＝＝＝．故答案为：．17．如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝2：1：3．【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，证明△CHE∽△CDB，根据相似三角形的性质得到CH＝DH，证明△EGH∽△AGD，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴△CHE∽△CDB，∴＝＝＝，∴CH＝DH，∵AD＝DB，∴＝，∵EF∥AB，∴△EGH∽△AGD，∴＝＝，∴DG：GH：CH＝2：1：3，故答案为：2：1：3．18．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为．【分析】根据相似三角形的判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可．【解答】解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，∴△MDN∽△NEQ，∴＝，∴DN＝＝2，在△MDN和△PBQ中，，∴△MDN≌△PBQ（ASA），∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，∴DM＝＝，∴每个小正方形的面积为，故答案为：．三.解答题（本大厦共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝+3＝．20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．【分析】根据勾股定理求出斜边c，再根据tan A＝，求出∠A，最后根据∠A+∠B＝90°，求出∠B即可．【解答】解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知＝，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，∴＝＝．又∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG ＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【分析】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE ⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG•DC．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，求得∠1＝∠2，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAG＝DAE＝45°，根据相似三角形的性质得到AD2＝CD•DG，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ACF+∠ACB＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF；（2）证明：∵∠DAE＝90°，作AG平分∠DAE，∴∠DAG＝DAE＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠DAG＝∠ACB，∵∠ADG＝∠CDA，∴△DAG∽△DCA，∴，∴AD2＝CD•DG，由（1）知，△ABD≌△ACF，∴AF＝AD，∴AF2＝DG•DC．24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．【分析】（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE＝AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．【解答】解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，∴，∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1∴BE＝4﹣x，∴，∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）∵DE⊥EC，∴∠DEC＝90°，又∵DF＝FC，∴DC＝2EF＝2×2.5＝5，过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4，∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3，∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4，∴﹣x2+4x＝4解得：x1＝x2＝2，∴AE＝2；（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x，设AD＝m，则DE＝4﹣m，∵∠A＝90°，∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2∴，由（1）知：△AED∽△BCE，∴∴∴△BCE的周长不变．25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据反比例函数中k＝xy进行解答即可；（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE＝k2﹣k+1，根据S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE 可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．【解答】解：（1）若点E与点P重合，则k＝1×2＝2；（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，∵PF⊥PE，∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE＝S△GEF，∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1，∵S△OEF＝2S△PEF，∴k2﹣1＝2（k2﹣k+1），解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，∵∠MHF＝∠EBM＝90°，∠HMF＝∠MEB，∴△FHM∽△MBE，∴＝，∵FH＝1，EM＝PE＝1﹣，FM＝PF＝2﹣k，∴＝，BM＝，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（1﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，此时E点坐标为（，2），②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，∵FQ＝1，EM＝PF＝k﹣2，FM＝PE＝﹣1，∴＝，BM＝2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，∴（k﹣2）2＝（）2+22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2），∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．。