模型3： y 0 1 x1 2 x2 3 x12 4 x22 5 x1 x2
经过同样的计算可得回归方程：
yˆ 39.67 2.83x1 3.16 x2 1.5x12 9.5x22 2.25 x1x2
偏差平方和： ST ( yi y)2 328
i
回归平方和： SR ( yˆi y)2 313.7
产量 (t/ha)
18．98 27．35 34．86 38．52 38．44 37．73 38．43 43．87 42．77 46．22
P
施肥量 (kg/ha)
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
产量 (t/ha)
6．39 9．48 12．46 14．33 17．10 21．94 22．64 21．34 22．07 24．53
2、多项式回归模型
故得回归方程：
yˆ 39.67 2.83x1 3.16 x2 1.5x12 9.5x22
偏差平方和： ST (yi y)2 328
i
回归平方和： SR (yˆi y)2 293.33
i
残差平方和： SE (yi yˆi )2 34.67
i
2、多项式回归模型
i
回归平方和： SR ( yˆi y)2 108.33
i
残差平方和： SE ( yi yˆi )2 219.67
i
1、线性回归模型
复相关系数：
R S R 108.33 0.57
ST
328
显然，模型（1）对所给数据的拟合效果较差，由对数据 的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合 适的。
2. 多项式回归模型
2、多项式回归模型
模型2：
y
0
1 x1
2 x2
3 x12
4
x
2 2
数据矩阵：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1 1 1
X 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1
1
1
000
1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1
经计算得： ˆ ( X X )1 X Y (39.67,2.83,3.16,1.5,9.5)
复相关系数：
R SR 293.33 0.95
ST
328
由此观之，此多项式回归模型的拟合效果显然大大优 于线性回归模型。
注意：至此为止，我们并没有考虑两种肥料（氮和钾）的交叉作用，若要 反映交互作用，则公式中应该出现交叉项 x1x2 。
目录
3.含交叉项的多项式回归模型
3、含交叉项的多项式回归模型
产量 (t/ha) 11．02 12．70 14．56 16．27 17．75 22．59 21．63 19．34 16．12 14．11
K
施肥量 (kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
产量 (t/ha) 15．75 16．76 16．89 16．24 17．56 19．20 17．97 15．84 20．11 19．40
X 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
Y (48,37,49,44,42,52,49,43,59)
经计算得：
ˆ ( X X ) 1 X Y (47,2.83,3.16)
1、线性回归模型
故得回归方程：
yˆ 47 2.83x1 3.16 x2
偏差平方和： ST ( yi y)2 328
回归分析数学建模案例
土豆施肥效果分析（1992年全国数学建模竞赛）
目录
一. 原题简介 二. 简化后的题目
1. 线性回归模型 2. 多项式回归模型 3. 含交叉项的多项式回归模型
一. 原题简介
一、原 题
某研究所为了研究 N、P、K 三种肥料对于土豆和生菜的作用， 分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为 10 个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将 另二种肥料固定在第 7 个水平上，实验数据如下列表格所示，其中 ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示千克，试建立反映施肥量与产量关 系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价．
生菜施肥量与产量数据表
P
施肥量 (kg/ha) 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
产量 (t/ha) 33．46 32．47 36．06 37．96 41．04 40．09 41．26 42．17 40．36 42．73
N
施肥量 (kg/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
施肥量与产量关系的实验数据如下：
土豆施肥量与产量t/ha)
0
15．18
34
21．36
67
25．72
101 32．29
135 34．03
202 39．45
259 43．15
336 43．46
404 40．83
471 30．75
K
施肥量 (kg/ha)
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
二. 简化后的题目
二、简化后的题目
在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆 产量结果见附表，求土豆产量与施肥量之间的关系。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N(kg) 200 200 200 260 260 260 320 320 320
K(kg) 270 370 470 270 370 470 270 370 470
产量Y (t) 48 37 49 44 42 52 49 43 59
数据的中心标准化
首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令
x1
N
260 ， 60
K 370 x2 100
注意：这里 260 和 370 是中位数，60 和 100 是极值差距。
如果说，施肥量 x1 , x2 与土豆产量 y 有很密切的关系，则应该有：
y f ( x1 , x2 )
其中 f (x1, x2 ) 可能是线性函数，也可能是多项式函数，或者是其他类型的函 数，探求 f (x1, x2 ) 的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。
1. 线性回归模型
1、线性回归模型
模型1： y 0 1x1 2 x2
数据矩阵和向量： 1 1 1 1 1 1 1 1 1