考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则（ ）A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21n n n ab c +=+，所以1a a n =，++1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ∆中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=， 所以)()21(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列. 二、填空题2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a _________【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值,再利用S n -S n-1=a n 求出通项公式a n . 【解析】由1113132a a S =+=，解得11=a ，又3132+=n n a S ，所以112233n n n n n S S a a a ---=-=，得12n n aa -=- ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2-的等比数列.故数列的通项公式1)2(--=n n a 【答案】1)2(--n3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【解题指南】（1） 令3=n ，4=n 代入 即可得到答案. （2）通过1112121)1(21)1(----+----=-=n n n n n n n n a a s s a 整理可发现当当n 为偶数时有1121--=-n n n a a ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为21111--==a s a ，所以411-=a ，8133213--=++=a a a a s ①，161443214-=+++=a a a a a s ，即161321-=++a a a ②， 把②代入①得1613-=a .（2）因为当2≥n 时，n n 1n n n 1n n 1n 111a s s (1)a (1)a 22n ----=-=----+，整理得n n n n n a a 21)1())1(1(11=-+----，所以，当n 为偶数时，n n a 211-=-，当n 为奇数时，n n n a a 2121=+-，所以1121--=n n a ，所以{为奇数为偶数，n n n n na ,21211+-=，所以当n 为偶数时，1121--=-n n n a a ， 所以 +---+--=++++++33221100994321212121a a a s s s s s s --++-+-=-+--)()()(21219910034121001009999a a a a a a a a 231003599210011111111111()()()22222222222++++=++++-+++)121(31)211()211(3221)211(2141)411(2110010010010050-=---=-----=.【答案】（1）161- （2）)121(31100-4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =【解题指南】先根据1a 、2a 、5a 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出8S .【解析】因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22= 因为0d ≠,所以2=d ,故.64568278818=+=⨯+=d a S 【答案】64 三、解答题5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 【解析】（I ）22)1()21()(x x x x f +--='λλ， 令0)(='x f ，即0)1()21(22=+--x x x λλ，解得0=x 或λλ21-=x 若21<λ，则)21(20λ-<<x 时， 0)(>'x f ，所以0)(>x f . 若21≥λ，则0>x 时，()0¢<f x ，(0)=0f ，所以0)(<x f .综上λ的最小值为21.（II ）令21=λ，由（I ）知，0>x 时，0)(<x f .即)1ln(22)2(x xx x +>++.取k x 1=，则kk k k k 1ln)1(212+>++. 于是))1(2121(41122++=+-∑-=k k n a a n n k n n ))1(212(12++=∑-=k k k n n k >k k n nk 1ln 12+∑-=n n ln 2ln -=2ln =. 所以2ln 412>+-na a n n 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n .(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.【解题指南】(1)由a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列可以求得a 1与d 的关系,进而可求得d 与a n .(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n 项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2,d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n =-n+11或a n =4n+6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n , 因为d<0,所以d=-1,a n =-n+11,则n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-错误！未找到引用源。
n 2+错误！未找到引用源。
n;n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-a 12-…-a n =S 11-(S n -S 11)= -S n +2S 11=错误！未找到引用源。
n 2-错误！未找到引用源。
n +110.综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=错误！未找到引用源。
22121,11,22121110,12.22≤≥⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩n n n n n n7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n 项和,再利用题目中所给条件求解20T .【解析】（Ⅰ）由题设知{}n a 是首项为,1公比为3的等比数列,所以13-=n n a ,().13213131-=--=nn n S（Ⅱ）,210,13931,313321d b b b a b ==-=++===所以公差5=d ， 故101052192032020=⨯⨯+⨯=T . 8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c >0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a 1,a 2,a 3,…,满足a n+1=f(a n ),n ∈N *. (1)若a 1=-c-2,求a 2及a 3. (2)求证:对任意n ∈N *,a n+1-a n ≥c.(3)是否存在a 1,使得a 1,a 2,…,a n ,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a 1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a 2=2,a 3=c+10. (2)f(x)=错误！未找到引用源。
当a n ≥-c 时,a n+1-a n =c +8>c.当-c-4≤a n <-c 时,a n+1-a n =2a n +3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当a n <-c-4时,a n+1-a n =-2a n -c-8>-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意n∈N*,a n+1-a n≥c.(3)由(2),结合c>0,得a n+1>a n,即{a n}为无穷递增数列,又{a n}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a n>-c,从而a n+1=f(a n)=a n+c+8,由于{a n}为等差数列,因此其公差d=c+8.①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,当n≥2时,由于{a n}为递增数列,故a n≥a2=0>-c,所以a n+1=f(a n)=a n+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{a n}为无穷等差数列,符合要求.②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.③若a1≥-c,则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8,从而{a n}为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数x(f，无穷数列{}n a满足)x-=2a n+1=f(a n),n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.①当0<a 1≤2时,a 3=2-(2-a 1)=a 1,所以错误！未找到引用源。