数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）
课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟
考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ）
题 号一二三四五总 分满 分20
20
10
35
15
100
得 分阅卷人复核人一、填空题（每小题2分）
1. 设, 且, , 则=_________． n x f =∂))(()()(x f x g )()(x g x f ))((x g ∂
2. 在数域上有根, 但是在上不可约的多项式是__________多项式． P P
3.
是首项系数为1的实系数三次多项式. 若,
则
)(x f 0)()3(==i f f =_________________．
)(x f 4. 在行列式中, 含有且带有负号的项共有_________项．
555115
11a a a a 32a 5. 在行列式中, 的代数余子式为-24, 则=________．
131402
1b a -b a 6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.
7. 已知A 为三阶矩阵, 且=1, 则=_________．
A A 2-8. 向量组{}和{}的秩分别是和, 则{,
k ααα,,,21 m βββ,,,21 s t k αα,,1 }的秩与,适合关系式____________．
m ββ,,1 r s t 9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且, 则=____．
21X X ≠A 10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．
二、单选题（每小题2分）
）.
(A) S 1={}; (B) S 2={};
Z n m m
n ∈,2
Z b a bi a ∈+,(C) S 3={};
(D) S 4={}．
Z z nz ∈Q b a b a ∈+,22. 设, 且, , 则错误的结
0)(≠x f )())(),((x d x g x f =)()()()()(x d x v x g x u x f =+论是( ).
(A) ; (B) ; 1))
()
(,)()((
=x d x g x d x f )())(),((x d x v x u =(C) ;
(D) ．
)())(),()((x d x g x g x f =+)())(),((m m m x d x g x f =3. 设行列式D 1=, D 2=,则下面结论正确的有( ).333231232221
131211
a a a a a a a a a 31
323321222311
12
13a a a a a a a a a
(A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．
4. =中 的系数为（ ）
)(x f x x x x x 1111231
11212-4x
(A) 1,
(B) 2,
(C) 0,
(D) 3．
5. 在复数域上的标准分解式是（
）
22)13)()(1()(--+=x i x x x f (A);
(B) ;
22)13)()(1(--+x i x x 22)13())((--+x i x i x (C);
(D) ．
22)3
1
())((--+x i x i x 223
1
())((9--+x i x i x 6．若是线性无关的向量组, 则也线性无关的条
r ααα,,,21 r r k k k ααα,,,2211
件是（
）
(A) 不全为零, (B) 全为零, r k k k ,,,21 r k k k ,,,21 (C) 全不为零, (D)以上结论都错．
r k k k ,,,21 7. 在一个含有个未知数个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（
n m ）
(A) ＞； (B) ＜； (C) =； (D)与,的大小无关．m n m n m n m n 8. 若矩阵的秩为，则（
）
A r (A)有阶非零子式； (B)有阶非零子式且任意+1阶子式为0；A r A r r (C)的任意+1阶子式为0； (D)的阶子式都不等于0．
A r A r 9. 下列矩阵中(
)不是初等矩阵
(A); (B); (C); (D)．
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛10001010110. 若数域P 上三元齐次线性方程组的基础解系中仅含有一个向量,则0=AX 其系数矩阵的秩是(
)
(A) 0; (B) 1;
(C) 2;
(D) 3．
三、判断正误（每小题2分）
1. 若, 且
, 则,且.
)()()(21x f x f x g +)()()(21x f x f x g -)()(1x f x g )()(2x f x g (
)2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵.
( )4. 若A,B 均为阶可逆矩阵, 则A+B 也是阶可逆矩阵． ( ) n n 5. 等价的向量组含有相同个数的向量． (
)
四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）
1. 计算阶行列式．
n n
n
n a a a a a a a a a a a a +++11132132
1
3
21 2. 设，求矩阵．
111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
X
3. 用导出组的基础解系表出线性方程组的全部
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++5
54931232362323354321543214
32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解.
五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）
1.设P[x]的多项式与不可约多项式有一个公共根, 则．
)(x f )(x p )()(x f x p 2. 若方程组有解, 则行列式
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++1
1212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =0．1
111
11111
+++n n
n n n nn n n b a a b a a b a a。