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解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳
1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径)
变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =()
sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C
=== 2.正弦定理适用情况:
(1)已知两角及任一边;
(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况).
3.余弦定理及其推论
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222
222
222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab
+-=
+-=+-= 4.余弦定理适用情况:
(1)已知两边及夹角; (2)已知三边.
注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式.
5.常用的三角形面积公式
(1)高底⨯⨯=
∆2
1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R
===∆为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)
(2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中,即大边对大角,大角对大边)
(3)在ABC ∆中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin
cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C +=
解三角形有用的结论
1.在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
2.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B ,⇔2A =2B 或2A =π-2B ,⇔A =B 或A +B =π2,
3.在△ABC 中,三角形三边关系:a+b>c; a-b<c
4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 成等差数列⇔B =π3,A +C =2π3.
5.在斜△ABC 中,tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .
6.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =b cos A +a co
7.在△ABC 中,B b a B B A B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin ,2=⇒=⇒==则
8.C bc bc c b C bc bc c b C bc c b a cos 22)(cos 22)(cos 222222-+-=--+=-+=
二、题型示例
考点一:正弦定理、余弦定理的简单应用
1.在ABC 中,若∠A =60°,∠B =45°,BC =32,则AC = ( )
A .43
B .2 3
C . 3
D .32
2.在ABC 中,222a b c =+,则A ∠等于( )
A .60°
B .45°
C .120°
D .150°
考点二:利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
3.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC 的形状为( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .不确定
4.若△ABC 的三个内角满足7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则△ABC ( )
A .一定是锐角三角形
B .一定是直角三角形
C .一定是钝角三角形
D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
5.在ABC ∆中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( )
A .等腰三角形
B .等边三角形
C .直角三角形
D .等腰三角形或直角三角形
考点三:利用正余弦定理求三角形的面积
6.在ABC ∆
中,AB =1AC =,30A ︒∠=,则ABC ∆面积为( )
A .
2 B
.4 C
.2
D
.4
或2
7.已知ABC ∆的三边长3,5,6a b c ===,则ABC ∆的面积为( )
A .
B
. C
D
.考点四:利用正余弦定理求角 8.在锐角中,角所对的边长分别为.若( )
A .
B .
C .
D . 9.在△ABC 中,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形有 ( )
A .无解
B .两解
C .一解
D .解的个数不确定
10.在,内角所对的边长分别为且,则 ( )
A .
B .
C .
D . 考点五:正余弦定理实际应用问题
11.如图:A ,B
是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45︒,B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60︒且与B
点相距C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为每小时30海里,该救援船到达D 点需要多长时间? 三、高考真题赏析
1.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 (Ⅰ)证明:a +b =2c ; (Ⅱ)求cos C 的最小值.
2.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且
cos cos sin A B C a b c +=. (I )证明:sin sin sin A B C =;
(II )若22265
b c a bc +-=
,求tan B .
ABC ∆,A B ,a
b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3
πABC ∆,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=a b >B ∠=6π3π23π56πtan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A
+=
+
3.(2016年全国I )ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
(I )求C ;
(II
)若c ABC △=
ABC △的周长. 4.(2015高考新课标2)
ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.
(Ⅰ) 求sin sin B C
∠∠; (Ⅱ)若1AD =
,2DC =,求BD 和AC 的长. 5.(2015高考四川,理19) 如图,A ,B ,C ,D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
(1)证明:1cos tan ;2sin A A A
-= (2)若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tan
tan tan tan 2222
A B C D +++的值.
6.(2013级绵阳一诊,19)已知如图,在Rt ABC ∆中,60A ︒∠=,6AB =,
点D 、E 是斜边AB 上两点.
(I)当点D 是线段AB 靠近A 的一个三等分点时,求CD CA ⋅的值;
(II)当点D E 、在线段AB 上运动时,且30DCE ︒∠=,设ACD θ∠=,试用
θ表示DCE ∆的面积S ,并求S 的取值范围.
A B。

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