习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求bE E E E ,,,' ． 解 E =∅；[0,1][0,1]bE E E '===⨯。

2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤<=x y x y x E ，求bE E E E ,,,' ．解 E =∅；{(,):0,11}.bE E x y x y E E '==-≤≤==3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．(1) 11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'= ⎪⎝⎭； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ； (4) B A B A =； (5) ︒︒︒=B A B A )(； (6) .)(︒︒︒=B A B A解 (1) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1()n n E ∞=''==Q R ,而1.n n E ∞='=∅但是，总有11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭。

(2) 不一定。

如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=∅ 而.A B ''=R R =R(3) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1n n E ∞===Q R , 而1.n n E ∞==Q 但是，总有11n n n n E E ∞∞==⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭。

(4) 不一定。

如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =∅，而{}A B b =。

(5) 不一定。

如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =.(6) 成立。

因为A B A ⊂, A B B ⊂, 所以()A B A ⊂, ()A B B ⊂。

因此，有()A B AB ⊂。

设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ⊂且2(,)B x B δ⊂,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ⊂。

故有()x A B ∈，即()AB A B ⊂。

因此，()A B A B =.4．试作一点集A ，使得A '≠∅，而∅='')(A ．解 令1111{1,,,,,,}234A n=，则{0}A '=，()A ''=∅.5．试作一点集E ，使得bE E ⊂．解 取E =Q ，则bE =R 。

6．证明：无聚点的点集至多是可数集．证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。

对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。

有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ⊂使得(,)x x x B P r ∈，从而(,){}x x B P r A x =。

显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。

令()(,)x xf x P r =，则得到单射:n f A +→⨯Q Q 。

由于n +⨯Q Q 可数，所以，A 是最多可数。

7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?答 不相同。

例如，点集1111{1,,,,,,}234A n=只有孤立，但是有一个聚点：{0}A '=。

8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d ?答 不一定。

例如，取1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -===，则A 无聚点。

但是()11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞，这说明：不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。

9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若E x '∈0，则存在E x n ⊂}{且),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n ．证明 不同。

聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。

对于一个点列1{}nk k x ∞=⊂R ，可以得到一个点集{:1,2,}k E x k ==。

如果0x E '∈, 则0x 必是点列1{}k k x ∞=的极限点。

反之不真。

如取1(1,2,)k x k ==，则1是点列1{}k k x ∞=的极限点，但它不是点集{:1,2,}k E x k ==的聚点（因为{1}E =没有聚点）。

对于可数点集12{,,,,}(())n k i j E x x x x x i j =⊂≠≠R ，得到点列1{}k k x ∞=。

显然，点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞=的极限点是相同的。

设E x '∈0，则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。

任取一点1001(\{})(,)x E x B x ε∈。

令1210min{(,),2}d x x ε-=，则02(,)B x ε中有E 的无限个点。

任取一点2002(\{})(,)x E x B x ε∈。

如此下去, 可得点列1{}k k x ∞=满足： 00(\{})(,)k k x E x B x ε∈，110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +∀∈Z ).易见，1{}k k x ∞=是E 的各项互不相同的点列且0(,)20()k k d x x k -<→→∞。

可见，0()k x x k →→∞。

10．证明：E x '∈0的充要条件是对任意0>δ，),(0δx B 含有一个异于0x 的E 的点． 证明 必要性显然.充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。

令2101min{(,),}2d x x δ=,在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。

令3201min{(,),}3d x x δ=,在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。

这样继续下去，得到E 中各项互不相同的点列{}n x 使得10(,)0()k d x x kk -<→→∞。

从而，0lim n n x x →∞=，由上题知E x '∈0.11．E x E x k ⊂∃⇔∈}{0使得)(0∞→→k x x k ．证明 必要性。

设0x E ∈，则10,(,)k k x EB x k +-∀∈∃∈Z 。

显然，{}k x E ⊂且)(0∞→→k x x k 。

充分性 设{}k x E ∃⊂使得)(0∞→→k x x k ，则0,N ε∀>∃使得当n N >时有0(,)k d x x ε<，从而10(,)N x B x E ε+∈。

可见，0x E ∈。

12. 设点列)(∞→→n a x n ,)(∞→→n b x n ,证明: b a =.证明 由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞可知：对任意的120,,N N ε>∃使得当1n N ≥时, 有(,)2n d x a ε<; 当2n N ≥时, (,)2n d x b ε<。

令{}12max ,N N N =, 则当n N ≥时, 有(,)2n d x a ε<且(,)2n d x b ε<. 从而，当n N ≥时，有11(,)(,)(,)22N N d a b d a x d x b εεε++≤+<+=。

所以(,)d a b ε<。

由ε的任意性知，a b =.13. 设点列)(∞→→n x x n ,)(∞→→n y y n ,证明: R ∈∀βα,,有 (1) )(∞→+→+n y x y x n n βαβα; (2) ))(,(),(∞→→n y x d y x d n n .证明 （1）由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞, 可知对任意的120,,N N ε>∃使得当1n N >时，有(,)2||1n d x x εα<+; 当2n N >时，有(,)2||1nd y y εβ<+.令{}12max ,N N N =, 则当n N >时, 有(,)2||1n d x x εα<+且(,)2||1n d y y εβ<+.所以，当n N >，有(,)||(,)||(,)22n n n n d x y x y d x x d y y εεαβαβαβε++≤+<+=。

从而n n x y αβ+x y αβ→+()n →∞.（2）因为(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),n n n n n n n n d x y d x x d x y d y y d x y d x x d x y d y y ≤++≤++所以|(,)(,)|(,)(,)0()n n n n d x y d x y d x x d y y n -≤+→→∞。

因此，))(,(),(∞→→n y x d y x d n n 。

习题2.21．点集E 为闭集当且仅当E 中的收敛点列的极限仍然属于E ．证明 必要性. 设E 为闭集, 即E E '⊆。

取任一收敛点列{}n x E ⊂, 且0n x x →()n →∞.下证0x E ∈. 事实上, 若存在n 使得0n x x =, 则0x A ∈；否则，对任一N n +∈都有0n x x ≠。

因为0()n x x n →→∞, 所以对任意0>δ，),(0δx B 中必有E 的异于0x 的点n x 。

从而，由习题2.1.10可知:0x 是E 的聚点, 所以0x E ∈.充分性. 设E 中任何一个收敛点列必收敛于E 中的一点, 则对任意的0x E '∈, 存在点列{}n x E ⊆使得0n x x →()n →∞, 由假设知0x E ∈。

所以E E '⊆, 即E 为闭集.2．证明：︒E 是含于E 内的一切开集的并．证明 设{}F αα∈∧, 为所有含于E 内的开集所组成的集合, 则F E α⊆(任意的α∈∧).记F F αα=, 下证F E =。

一方面, E 显然是一个含于E 的开集, 所以E F ⊆。