2.函数的三要素 (1)定义域 在函数 y＝f (x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域． (2)值域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)对应关系 f：A→B. 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 数称为分段函数．
②求自变量的值：的值，
切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
x＋1，x≥0， 跟踪训练 2 (1)设函数 f (x)＝ 1 ，x<0，
2x
则 f (f (－1))＝________.
2x≤0，
1,0)．
x＋1>0，
④当
即 x>0 时，f (x＋1)＝1，f (2x)＝1，不合题意．
2x>0，
综上，不等式 f (x＋1)<f (2x)的解集为(－∞，0)．
2－x，x≤0， 方法二 ∵f (x)＝
1，x>0， ∴函数 f (x)的图象如图所示． 由图可知，当 x＋1≤0 且 2x≤0 时，函数 f (x)为减函数，故 f (x＋1)<f (2x)转化为 x＋1>2x. 此时 x≤－1. 当 2x<0 且 x＋1>0 时，f (2x)>1，f (x＋1)＝1， 满足 f (x＋1)<f (2x)． 此时－1<x<0. 综上，不等式 f (x＋1)<f (2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．
以－x 代替 x 得，2f (－x)－f (x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去 f (－x)得，f (x)＝2lg(x＋1)＋1lg(1－x)，
3
3
x∈(－1,1)．
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数 f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
5．(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是( ) A．f (x)＝x2－2x－1 与 g(s)＝s2－2s－1
B．f (x)＝ －x3与 g(x)＝x －x
C．f
(x)＝x与 x
g(x)＝x10
D．f (x)＝x 与 g(x)＝ x2
答案 AC
6．函数 y＝ x－2· x＋2的定义域是________．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)已知 f (x)＝5(x∈R)，则 f (x2)＝25.( × ) (4)函数 f (x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点．( √ )
1 (3)已知 f (x)满足 2f (x)＋f x ＝3x－1，求 f (x)．
1 解 已知 2f (x)＋f x ＝3x－1，①
以1代替①中的 x(x≠0)，得 x
1 2f x ＋f (x)＝3－1，②
x
①×2－②，得 3f (x)＝6x－3－1， x
故 f (x)＝2x－1－1(x≠0)． x3
③f (x)＝x＋2，x∈R 与 g(x)＝x＋2，x∈Z；
④f (u)＝ 1＋u与 f (v)＝ 1＋v；
1－u
1－v
⑤y＝f (x)与 y＝f (x＋1)．
答案 ④
3．已知 A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：
①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝x4；⑤f (x)＝x2＋1，其中能够表示函数 f：A→A
则 f (f (0))的值为________；方
2x－1，x>0，
程 f (－x)＝1 的解是________． 答案 1 0 或－1 解析 ∵f (0)＝1，∴f (f (0))＝f (1)＝1.当－x≤0 时，f (－x)＝－x＋1＝1，解得 x＝0；当－x>0 时，f (－x)＝2－x－1＝1，解得 x＝－1.
即 x≤－1 时，f (x＋1)<f (2x)即为 2－(x＋1)<2－2x，即－(x＋1)<
解得 x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当 x＋1≤0， 时，不等式组无解． 2x>0
x＋1>0， ③当
即－1<x≤0 时，f (x＋1)<f (2x)即 1<2－2x，解得 x<0.因此不等式的解集为(－
(3)配凑法：由已知条件 f (g(x))＝F (x)，可将 F (x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，
便得 f (x)的解析式．
1 (4)消去法：已知 f (x)与 f x 或 f (－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式
组成方程组，通过解方程组求出 f (x)．
应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
求函数的解析式
例 1 求下列函数的解析式：
(1)已知 f (1－sin x)＝cos2x，求 f (x)的解析式；
(2)已知 f
x2＋ 1 x2
＝x4＋x14，求
f (x)的解析式；
(3)已知 f (x)是一次函数且 3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求 f (x)的解析式；
答案
－1， 2， 2 2
则使 f (x)＝1的 x 的集合为__________． 2
解析 由题意知，若 x≤0，则 2x＝1，解得 x＝－1； 2
1
若 x>0，则|log2x|＝12，解得 x＝ 22
1
或 x＝ 2 2 .
故所求 x 的集合为 －1，
2，
2 2
.
本例中，则使 f (x)>1的 x 的集合为________． 2
| 答案
－1<x< 2或 x> 2
x
2
解析 当 x≤0 时，由 2x>1得－1<x≤0； 2
当 x>0 时，由|log2x|>1得 0<x< 2或 x> 2.
2
2
|－1<x< 2或 x> 2
综上，所求 x 的集合是 x
2
.
思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现 f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
答案 3
解析 ∵f (－1)＝21－1＝2，
∴f (f (－1))＝f (2)＝3.
2－x，x≤0，
(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数 f (x)＝
则满足 f (x＋1)<f (2x)的 x 的取值范围是
1，x>0，
________．
答案 (－∞，0)
x＋1≤0， 解析 方法一 ①当
2x≤0，
－2x，
答案 [2，＋∞)
7．已知 f ( x)＝x－1，则 f (x)＝____________. 答案 x2－1(x≥0)
解析 令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2，所以 f (t)＝t2－1(t≥0)，即 f (x)＝x2－1(x≥0)．
x＋1，x≤0，
8．(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数 f (x)＝
第 1 课时 函数的概念及表示法
函数的概念 1．下列各曲线表示的 y 与 x 之间的关系中，y 不是 x 的函数的是( )
答案 C
2．(2019·武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x)＝x－1 与 g(x)＝x2－1；
x＋1 ②f (x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x；
(4)定义在(－1,1)内的函数 f (x)满足 2f (x)－f (－x)＝lg(x＋1)，求 f (x)的解析式．
解 (1)(换元法)设 1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则 sin x＝1－t，∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]． 即 f (x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)(配凑法)∵f x2＋x12 ＝ x2＋x12 2－2， ∴f (x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
cos πx，x≤0， 2
(2)已知 f (x)＝ f x－1＋1，x>0，
则 f (2)＝________.
答案 3
解析
π×0 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos 2 ＋2＝1＋2＝3.
命题点 2 分段函数与方程、不等式问题
2x，x≤0， 例 3 设函数 f (x)＝
|log2x|，x>0，
分段函数
命题点 1 求分段函数的函数值
3x＋1，x<2，
例 2 (1)已知函数 f (x)＝
若f f
x2＋ax，x≥2，
2 3 ＝－6，则实数 a 的值为________，f (2)
＝________.
答案 －5 －6
2 解析 由题意得，f 3 ＝3·2＋1＝3，
3
2 所以 f f 3 ＝f (3)＝9＋3a＝－6， 所以 a＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
题组三 易错自纠 4．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是 ()