历年高考数学真题精选（按考点分类）专题44 几何概型（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2019•全国）在Rt ABC ∆中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠<︒的概率为( ) A ．12B ．3 C ．23D ．3 2．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC ∆的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则( )A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+3．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．8π C ．12D ．4π 4．（2016•新课标Ⅱ）从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y 构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A．4nmB．2nmC．4mnD．2mn 5．（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A．13B．12C．23D．34 6．（2016•新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A．710B．58C．38D．310 7．（2015•福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数1,0()11,02x xf xx x+⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A．16B．14C．38D．12 8．（2015•陕西）设复数(1)(z x yi x=-+，)y R∈，若||1z„，则y x…的概率为() A．3142π+B．112π+C．112π-D．1142π-9．（2015•山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“1211log()12x-+剟”发生的概率为()A．34B．23C．13D．14 10．（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．4511．（2014•湖北）由不等式组0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩„…„确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩„…确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．7812．（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π13．（2009•辽宁）ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A ．4πB ．14π-C ．8π D ．18π-二．填空题（共3小题）14．（2017•江苏）记函数2()6f x x x =+-D ．在区间[4-，5]上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．15．（2016•山东）在[1-，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ．16．（2015•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题44 几何概型（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2019•全国）在Rt ABC ∆中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠<︒的概率为( ) A ．12B ．3 C ．23D ．3 【答案】B【解析】在Rt ABC ∆中，AB BC =，Rt ABC ∆为等腰直角三角形，令1AB BC ==，则：2AC =； 在BC 边上随机取点P ，当30BAP ∠=︒时，3tan30BP =︒=， 在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠<︒的概率为：3BP p BC ==2．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC ∆的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则( )A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+【答案】A【解析】如图：设12BC r =，22AB r =，32AC r =，222123r r r ∴=+， 23231422S r r r r ∴=⨯=Ⅰ，2123122S r r r π=⨯-Ⅲ，22222323212323111112222222S r r S r r r r r r r πππππ=⨯+⨯-=⨯+⨯-⨯+=ⅡⅢ，S S ∴=ⅠⅡ，12P P ∴=3．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．8π C ．12D ．4π 【答案】B【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积2S π=，则对应概率248P ππ==4．（2016•新课标Ⅱ）从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y 构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4nmB ．2n mC ．4mnD ．2mn【答案】C【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为2114πg ，从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y ，构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，对应的区域的面积为21．∴221141m n π=g 4mnπ∴=．5．（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】设小明到达时间为y，当y在7:50至8:00，或8:20至8:30时，小明等车时间不超过10分钟，故201402 P==6．（2016•新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A．710B．58C．38D．310【答案】B【解析】Q红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为255408=．7．（2015•福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数1,0()11,02x xf xx x+⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A．16B．14C．38D．12【答案】B【解析】由题意可得(1,0)B，把1x=代入1y x=+可得2y=，即(1,2)C，把0x=代入1y x=+可得1y=，即图中阴影三角形的第3个定点为(0,1)，令1122x-+=可解得2x=-，即(2,2)D-，∴矩形的面积326S=⨯=，阴影三角形的面积133122S'=⨯⨯=，∴所求概率14SPS'== 8．（2015•陕西）设复数(1)(z x yi x=-+，)y R∈，若||1z„，则y x…的概率为() A．3142π+B．112π+C．112π-D．1142π-【答案】D【解析】Q复数(1)(z x yi x=-+，)y R∈且||1z„，||1z ∴=，即22(1)1x y -+„，∴点(,)x y 在(1,0)为圆心1为半径的圆及其内部， 而y x …表示直线y x =左上方的部分，∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比， ∴所求概率22111111142142P πππ-⨯⨯==-g g g 9．（2015•山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“1211log ()12x -+剟”发生的概率为( ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】1211log ()12x -+Q 剟∴11222x +剟解得302x剟，02x Q 剟302x ∴剟 ∴所求的概率为：33224P ==10．（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( ) A ．15B ．25 C ．35D ．45【答案】B【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4，∴所求概率为42105=． 11．（2014•湖北）由不等式组0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩„…„确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩„…确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78【答案】D【解析】平面区域1Ω，为三角形AOB ，面积为12222⨯⨯=，平面区域2Ω，为AOB ∆内的四边形BDCO ，其中(0,1)C ，由201y xx y--=⎧⎨+=⎩，解得1232xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(2D-，3)2，则三角形ACD的面积1111224S=⨯⨯=，则四边形BDCO的面积17244OAB ACDS S S∆∆=-=-=，则在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为77428=12．（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．112π-B．1πC．21π-D．2π【答案】C【解析】设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为214rπ，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142r rπ-，∴此点取自阴影部分的概率是22211242114r rrπππ-=-．13．（2009•辽宁）ABCD为长方形，2AB=，1BC=，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A ．4π B ．14π-C ．8π D ．18π-【答案】B【解析】已知如图所示：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为2π因此取到的点到O 的距离大于1的概率22124P ππ-==-二．填空题（共3小题）14．（2017•江苏）记函数2()6f x x x =+-D ．在区间[4-，5]上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ． 【答案】59【解析】由260x x +-…得260x x --„，得23x -剟，则[2D =-，3]， 则在区间[4-，5]上随机取一个数x ，则x D ∈的概率3(2)55(4)9P --==--15．（2016•山东）在[1-，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ． 【答案】34【解析】圆22(5)9x y -+=的圆心为(5,0)，半径为3． 圆心到直线y kx =的距离为21k +，要使直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交，则231k <+，解得3344k -<<．∴在区间[1-，1]上随机取一个数k ，使直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交相交的概率为33344114+=+． 16．（2015•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 ．【答案】23【解析】方程22320x px p ++-=有两个负根等价于2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧=--⎪+=-<⎨⎪=->⎩V …，解关于p 的不等式组可得213p <„或2p …，∴所求概率215223503P -+-==-。