山东师大附中2011届高三第七次质量检测数学试题（文科）1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后,将答题纸和答题卡一并交回.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合U={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则()U C A B =（ ）A. {1}B. {2，4}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4} 2．复数1iz i=+在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努” 在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分 和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时， 发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x 应该是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2A ϕ><）的图 象如图所示为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度6. 已知函数2()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，若数列1()f n ⎫⎧⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）A. 2012 2011B.20102011C.20132012D.201120127. 已知2()4f x x x=-，则(sin)f x的最小值为（）A. -5B. -4C. -3D. 08. 设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x,y）满足2210101x yxy⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB⋅取得最小值时，点B的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 无数个9. 某公司租地建仓库，每月土地占用费1y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费2y与到车站的距离成正比，如果在距离车站12公里处建仓库，这两项费用1y和2y分别为3万元和12万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A. 5公里处B. 6公里处C. 7公里处D. 8公里处10. 设()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，()2xf x e=-，则()f x的零点个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个11. 设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2e=，右焦点为(,0)f c，方程20ax bx c--=的两个实根分别为1x和2x，则点P（1x，2x）（）A. 在圆228x y+=外 B. 在圆228x y+=上C. 在圆228x y+=内 D. 不在圆228x y+=内12.已知函数()y f x=的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数()y f x=的图象可能是（）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置.13．已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为 .14．按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是 .15. 如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影阴部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为 . 16. 下列命题中：①命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2,0x R x ∃∈≤”； ②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越强；③若,//,//;n a m n m a ⊂则 ④ “25a =”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)70x a y a +-+-=相互垂直”的充要条件.其中真命题的序号是 .（请填上所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17. （本题满分12分）已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =++（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）设ABC的内角,,A B C对边分别为,,,3,()3,(sin ,1)a b c c f C m A ===-且若与(2,sin )n B =垂直，求,a b 的值.18. （本题满分12分）为迎接建党90周年，某班开展了一次“党史知识 竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛 后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进 行统计，制成如右图的频率分布表： （Ⅰ）求,,,a b c d 的值； （Ⅱ）若得分在之间的有机会进入决赛， 已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名， 求获得一等奖的全部为女生的概率.19. （本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且,PC PB F =是BP 的中点.（Ⅰ）求证：CF//面APE ； （Ⅱ）求证：.PO ABCE ⊥面20. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的和22n S n n =+，数列{}n b 是正项等比数列，且满足1133112,()a b b a a b =-=.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项的和.21. （本题满分12分）已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间（a,3）上有最值，求实数m 的取值范围.22.（本题满分14分）直线:(1)l y k x =-过已知椭圆2222:1x y C a b+=经过点（0，离心率为12，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x=4上的射影依次为点D 、K 、E.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA AF MB BF λμ==，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+的值是否为定值？若是，求出λμ+的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.文科参考答案一、选择题二、填空题13. 1214. 63 15.15216. ②④三、解答题17. 解：（Ⅰ）π()2cos222sin(2)26f x x x x=++=++……………………2分令πππππ2π22π,ππ26236k x k k x k -+≤+≤+-+≤≤+得， ∴函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π],z,36k k k -++∈………………………4分（Ⅱ）由题意可知，ππ1()2sin(2)23,sin(2),662f C C C =++=∴+=πππ5π0π,2C+2C+,06666C C <<∴===或即（舍）或π3C =………………6分(sin ,1)(2,sin )m A n B =-=与垂直，2sin sin 0,A B a b ∴-==即2…………8分22222π2cos33c a b ab a b ab =+-=+-=②……………………………10分由①②解得，1, 2.a b ==………………………………………………………………12分 18.（Ⅰ）25500.15,0.5,5,0.150a b c d =⨯=====…………………………………4分 （Ⅱ）把得分在之间的五名学生分别计为“男甲，男乙，女甲，女乙，女丙”，则事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为（男甲，男乙），（男甲，女甲），（男甲，女乙），（男甲，女丙），（男乙，女甲），（男乙，女乙），（男乙，女丙），（女甲，女乙），（女甲，女丙），（女乙，女丙），共10个基本事件，…………………………8分 事件“获得一等奖的全部为女生”包含的所有事件为（女甲，女乙），（女甲，女丙）， （女乙，女丙），共3个基本事件，……………………………………………10分 获得一等奖的全部为女生的概率310P =………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点G ，连接GF ，GC ，//,,EC AB EC AB =∴四边形AECG 为平行四边形，//,AE GC ∴………………………………………………………………………2分 在ABP 中，GF//AP…………………3分 又,GF GC G AE AP A ==所以平面APE//平面FGC………………5分 又FC FGC ⊂平面所以，CF//面APE……………………6分 （Ⅱ）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥ 取BC 的中点H ，连OH ，PH ， //,OH AB OH BC ∴∴⊥因为,PB PC BC PH =∴⊥所以BC POH ⊥面从而BC PO ⊥………………………………………………………………………10分 又BC 与PO 相交，可得PO ABCE ⊥面…………………………………………12分20. 解（1）数列{}n a 前n 项的和22n S n n =+121(N,2)n n n a S S n n n -∴=-=+∈≥……………………………………2分又13,n a S ==所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =+∈………………………………3分因为数列{}n b 是正项等比数列，311311311311,4,,224b b a a a b a a ==-=∴==-……………………………………4分 公比为12，……………………………………………………………………………5分 数列{}n b 的通项公式为*13113()(N )222n n n b n -=⋅=⋅∈……………………………6分（2）所以13(21)(),2nn c n =+设数列{}n c 的前n 项的和为n T2113[35()22Tn =⋅+⋅+ (1)(21)()]2n n ++⋅231113[3()5()222n T =⋅+⋅+…+111(21)()(21)()]22n n n n +-⋅-+⋅ 231111(1)3{32[()()2222n T -=⋅+++…+111()](21)()}22n n n +-+⋅21111()(1())111223{32[](21)()}122212n n n T n -+-=⋅+-+⋅-115(615)()2n n T n ∴=-+⋅…………………………………………………………12分21. （Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-，……………………2分当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；…………………………6分（Ⅱ）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩ …………………………………………………………9分由题意知：对任意22[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，21515,a m a a a -∴<=-因为[1,2]a ∈，所以192m ∴<-， 对任意恒成立，323m ∴>- 321932m ∴-<<-………………………………12分 22. 解：（Ⅰ）易知1,2c b e a ===因为222a b c =+ 224,1,a c ==∴椭圆C 的方程22143x y +=………………………………3分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设直线l 方程(1),y k x =-且l 与y 轴交于M （0，-1），设直线l 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k -∴+=⋅=++………………………………6分 又由1111,(,)(1,),MA AF x y x y λλ=∴=--11,1x x λ∴=-同理221x x μ∴=-…………………………………………8分 12121212121228111()3x x x x x x x x x x x x λμ+-⋅∴+=+==----++⋅ 所以当直线l 的倾斜角变化时，λμ+的值为定值83-；…………………………10分 （Ⅲ）当直线l 斜率不存在时，直线l X ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK 的中点5,0,2N ⎛⎫⎪ ⎭⎝ 猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫⎪ ⎭⎝……………11分 证明：由（Ⅱ）知1122(,),(,)A x y B x y ，12(4,),(4,)D y E y ∴当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点5,0,2N ⎛⎫⎪ ⎭⎝2121:(4)4AE y y l y y x x --=⋅-- 当52x =时，21122121132(4)3()422(4)y y x y y y y y x x --⋅--⎛⎫=+⋅-=⎪ --⎭⎝ 12211221112(4)(1)3()2(4)(1)3()2(4)2(4)x k x k x x x k x k x x x x -⋅----⋅---==-- 21211825()02(4)k kx x k x x x --++==- ∴点5,02N ⎛⎫⎪ ⎭⎝在直线AE l 上，同理可证，点5,02N ⎛⎫⎪ ⎭⎝也在直线BD l 上； ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02⎛⎫⎪ ⎭⎝……………………。