幂函数与二次函数基础梳理
1．幂函数的定义
一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1
2， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质
解析式
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a
单调性
在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－b 2a ，＋∞上单调递增
在x ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减
在x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增
在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－b 2a ，＋∞上单调递减
奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数
顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2a
，4ac －b 24a
对称性
图象关于直线x ＝－b
2a 成轴对称图形
5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝
x 1＋x 2
2对称．
(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．
练习检测
1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A
2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±
12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－12，－2
C ．－12，－2,2，1
2 D ．2，12，－2，－12 答案 B
3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2 解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧
α＞0，
α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.
答案 B
4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，
由已知条件⎩⎨⎧
f (1)＝1，
f (b )＝b ，
b >1，
即⎩⎨⎧
b 2－3b ＋2＝0，b >1.
解得b ＝2. 答案 C
5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2
由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，
则⎩⎨⎧
a ≠0，
b ＝－2，2a 2＝4.
因此f (x )＝－2x 2＋4.
答案 －2x 2＋4
6.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．
[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.
当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1
综上可知g (t )＝⎩⎨⎧
t 2＋1≤0，t ≤0，
1，0<t <1，
t 2－2 t ＋2，t ≥1.
(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上
取到最小值1.
(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标
公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，
故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 8.已知幂函数)()(*3
22
N m x x f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满
足3
3
)
23()
1(m m a a -
--<+的a 的取值范围．
[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.
而f (x )＝x －1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－1
3等价于a ＋1＞3－2a ＞0 或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜3
2. 故a
的取值范围为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键
是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．
9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．
求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．
[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a 22－4a ，
∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，－4a .(1分)
①当a
2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a
2时， f (x )取最大值为－4a .
令－4a ＝－5，得a ＝5
4∈(0,2)；(7分)
③当a
2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，
解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝5
4或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2
＋5x －105
16或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)
求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视
对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．
10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．
[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．
当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝⎩
⎨⎧
a 2－2a ，－2＜a ＜1，
－1，a ≥1.。