数列综合编稿：张希勇 审稿：【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式 数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列.（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nn a S S a +=奇偶. （6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则m n m nS S S m n m n+-=-+（m 、n ∈N*，且m ≠n ）. （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p qm n S S S S m n p q--=--.（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三、：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅= （4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.（5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列.（6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇.（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a ＞0且a≠1）为等比数列.（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)21(*)n n nn V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数：11n n a a q -=①方程观点：知二求一； ②函数观点：111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；要点诠释：当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列. 要点四、常见的数列求和方法 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和. 分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=，如a n = 1(1)n n +111n n =-+错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五、数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，267，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+,241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；【解析】通项公式为：221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：1-，58，157-，924，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21nn n n a n +=-+ B.(3)(1)21n n n n a n +=-+C.2(1)1(1)21nn n a n +-=-- D.(2)(1)21n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： （1）113,21+==+n n a a a ； (2)111,2+==-n na a a a ； 【答案】（1）12343,7,15,31a a a a ====， 猜想得121n n a +=-；(2)a 1=a,a 2=a -21,a 3=a a 232--,a 4=aa 3423--， 猜想得a n =an n an n )1()2()1(-----；类型二：等差、等比数列概念及其性质 例2. 在n1和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积；【解析】方法一：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，且公比为q ，则111n n q n++= ∴1(1)n qn n +=+，1kk x q n=（1,2,,k n =）22)1(21221)1(11111nn n n n n n n n nn qnq n q n q n q n x x x T +===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=++++方法二：设插入的n 个数为n x x x ,,,21 ，1,110+==+n x nx n ， nn x x x x x x n n n 112110+==⋅=⋅=⋅-+ n n x x x T ⋅⋅⋅= 21，nn n n n nn x x x x x x T )1()()()(11212+=⋅⋅⋅=- ， 2)1(nn nn T +=∴【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量1a 、q ，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.举一反三：【高清课堂：数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=.（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.【答案】（1）1(2n n a -=+或1(2n n a -= （2）13a =【变式2】已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，{}n a 中部分项组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，且知11k =,25k =,317k =.（1）求n k ；（2）证明: 12...31nn k k k n +++=--.【答案】依题意:11k a a =，2514k a a a d ==+，317116k a a a d ==+.∵1k a ，2k a ，3k a 为等比数列，∴2111(4)(16)a d a a d +=+，解得12a d =.∴等比数列{}n k a 的首项112k a a d ==，公比511143a a d q a a +===， ∴11123n n n k k a a qd --=⋅=⋅又n k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项， ∴1(1)(1)n k n n a a k d k d =+-=+ ∴1(1)23n n k n a k d d -=+=⋅（0d ≠），解得1231n n k -=⋅-.（2）12...n k k k +++11211(231)(231)...(231)n ---=⋅-+⋅-++⋅-0112(33...3)31n nn n -=+++-=--例3. 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250 【答案】C 【解析】方法一：∵{}n a 为等差数列，∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-， 解得3225n S =, ∴选C.方法二：取特殊值，令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)32252n S S a d ⨯-==+=, ∴选C.方法三：1(1)252n n n S na d -=+=,212(21)21002n n n S na d -=+=, 两式相减可得1(31)752n n na d -+=，∴313(31)37532252n n n S na d -=+=⨯=.∴选C.【总结升华】解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用.举一反三：【变式】已知等比数列{}n b ，48n S =, 260n S =, 则3n S =（ ） A.75 B.2880 C.45D.63 【答案】D例4． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a da d d a d a 【总结升华】1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.例5．等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____. 【答案】7，49【解析】设公差为d, 由题意得3a 1+223⨯d=11a 1+21011⨯d ，得d=-2, ∴n S 有最大值.又S 3=S 11,可得n=2113+=7， ∴S 7为最大值，即S 7=7×13+267⨯(-2)=49.【总结升华】等差数列的前n 项和公式是一个二次的函数，当0d <时，函数有最大值. 举一反三：【变式】若数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n ·a n+1·a n+2(n ∈N)，{b n }的前n 项和用S n 表示，若{a n }中满足3a 5=8a 12>0，试问n 多大时，S n 取得最大值，证明你的结论.【答案】∵3a 5=8a 12>0，∴3a 5=8(a 5+7d),解得a 5=-556d>0 ∴d<0，∴a 1=-576d ， 故{a n }是首项为正的递减数列.则有⎩⎨⎧≤+=≥-+=+00)1(111nd a a d n a a n n ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-+-05760)1(576nd d d n d解得：1551≤n≤1651，∴n=16，即a 16>0，a 17<0 即：a 1>a 2>…>a 16>0>a 17>a 18>… 于是b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18>…… 而b 15=a 15·a 16·a 17<0 b 16=a 16·a 17·a 18>0 ∴S 14>S 13>…>S 1 ,S 14>S 15，S 15<S 16又a 15=-56d>0，a 18=59d<0 ∴a 15<|a 18|，∴|b 15|<b 16，即b 15+b 16>0 ∴S 16>S 14，故S n 中S 16最大例6、设S n 、T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，满足71427n n S n T n +=+，求1111ab . 【思路点拨】用好等差数列中S n 与a n 的一个关系： S 2n+1=(2n+1) a n 是解好本题的一个关键 【解析】方法一：12111111212111111212112121()2721142212421273()2a a a a a a Sb b b b T b b ++⨯+======+⨯++的关系 方法二：设(71),(427)n n S k n n T k n n =+=+(k≠0)， ∴a 11=S 11-S 10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k b 11=T 11-T 10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k ∴111114841113a kb k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.举一反三：【变式1】等差数列{a n }中，S n =50，123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项数n.【答案】10【高清课堂：数列综合381084 例2】【变式2】在数列{}n a 中，121,2a a ==，11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠（1）设*1()n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列.(2) 求数列{}n a 的通项公式.(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值；并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项.【答案】（1）利用定义证明1n n b qb -=（2）1,111,11n n nq a q q q -=⎧⎪=-⎨+≠⎪-⎩（3）证明1q =时，n a n =不合题意1q ≠时，111,1n n q a q--=+- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521361122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q+++-++--+-+=+++=+=+----112(1)21n n q a q--=+=-即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型三：n a 与n S 的关系式的综合运用例7. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 【思路点拨】n a 与n S 的关系式的综合运用，如果已知条件是关于n a 、n S 的关系式(,)0n n f a S =，可利用n ≥2时1n n n a S S -=-，将条件转化为仅含n a 或n S 的关系式。