一、填空题 （共20分，每空 2 分）1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为ABCDEL 1L 2L 3L 4L 52、测量是所称的观测条件包括 、观测者、3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。

（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββαααΛΛ22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。

（15分）1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。

四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；C五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

(20分)A六、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。

（15分）1）试在误差曲线上作出平差后P A边的中误差，并说明；2）试在误差椭圆上作出平差后P A方位角的中误差，并说明；ϕ,试计算方位角为102º的PB 3）若点P点位误差的极大值E＝5mm，极小值F＝2mm，且︒=52F边的中误差。

参考答案及评分标准一、填空题 （共20分，每空 2 分）1：2、3、4、12：测量仪器、外界环境22.5º（或202.5º）、112.5º（292.5º） 3：cm cm 818.222或、2 4：157.5º或337.5º、1.78二、解：5.025.0*36.015.0)*(*)*(*0020-=-====yy xx xy yy xx xyyx xy Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ三、解：（1）L 向量的权阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛO ΛM M ΛΛp 则L 的协因数阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000100011ΛO ΛM M ΛΛp Q LL （2分） （3分）（3分）（2分）（2分）()2531115253555253555253)(*52535212122112211+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L A AL AL AL L L L L L L x T M ΛΛΛΛαααααα()6711112671222671222671)(*26712212122112211+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L B BL BL BL L L L L L L y F M ΛΛΛΛββββββ （2分）依协因数传播定律 则函数T 的权倒数为：()()225)1115(**11151nA A Q A Q p T LL TT T===ΛΛ则：2251nA p T = （3分）则函数F 的权倒数为：()()24)1112(**11121nB B Q B Q p T LL FF F===ΛΛ 则：241nB p F = （3分）（2）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+++=n n n n L L L B BL BL BL L L L y M ΛΛΛ21212211111βββ （1分）依协因数传播定律()()nABB Q A Q T LL Ty 5)111(**1115==ΛΛ（2分）()()nAB B Q A Q T LL TF 10)1112(**1115==ΛΛ（2分）四、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；选D 、E 平差值高程为未知参数21ˆˆX X 、 （2分） 则平差值方程为：1615142322211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX H h H X hH X h H X h H X h X X h A AB A B -=-=-=-=-=-= （2分）则改正数方程式为：6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆl xv l xv l x v l xv l x v l x xv --=-=-=-=-=--= （1分）取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、令C=1，则观测值的权阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10111101P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010*********B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7551000)()()()()()()(016015014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B（4分）组法方程0ˆ=-W xN ，并解法方程： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3114PB B N T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==107Pl B W T⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-311074113111ˆ1W N x （4分） 求D 、E 平差值：m x X X H m x X X H D C 258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ20221011=+===+== （1分） 2）求改正数：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=664734ˆl xB v 则单位权中误差为：mm r pv v T 36.64162ˆ0±=±=±=σ （2分）则平差后D 、E 高程的协因数阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-41131111ˆˆNQ X X （2分） 根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：mmmm Q mm mm Q E D 84.311229ˆˆ32.322669ˆˆ220110±=±==±=±==σσσσ（2分）五、证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ；设每公里中误差为单位权中误差，则h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)/(100/1T S T P （4分）平差值条件方程式为：0ˆˆ21=+h h 则 A=( 1 1 ) （3分）S A AP N T ==-1由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1ˆˆ--=则高差平差值的协因数阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-1111)(1ˆˆS T S T AQ N A Q Q Q LL T LLLL L L （3分）则平差后P 点的高程为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=211ˆˆ01ˆh h H h H H A A P （2分） 则平差后P 点的权倒数（协因数）为ST S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )(1-=-=- （3分） 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则 02=-STS T=S/2 （3分） 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

（2分）六、解：1）在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差；连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后P A 边的中误差Pa PA =σˆ （3分） 2）在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差；作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，垂足为c 点，则Pc长度为平差后P A则平差后P A ρρσσα=''≈PAPAu S Pc S PAPAˆˆ图共4分，每作对一个，得2分 3）因为︒=52F ϕ 则：︒=142E ϕ则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα （2分） 所以：323.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ˆˆ22222222=︒-+︒-=ψ+ψ==ψF E σσϕ 方位角为102º的PB 边的中误差：mm 04.4ˆˆ±==ψσσϕ （3分）。