图24－3－3 B．12 mm D．4 3 mm
4．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，
则该三角形的面积是( A )
A.
2 2
B.
3 2
C. 2
【解析】 如答图①，∵OC＝2，∴OD＝1；
D. 3
第 4 题答图
如答图②，∵OB＝2，∴OE＝ 2； 如答图③，∵OA＝2，∴OD＝ 3， 则该三角形的三边分别为 1， 2， 3， ∵12＋( 2)2＝( 3)2， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1× 2＝ 22，故选 A.
A．BD2＝
5－1 2 OD
C．BD2＝ 5OD
①
②
图 24－3－7
B．BD2＝
5＋1 2 OD
D．BD2＝
5 2 OD
11．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割
圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O 的半径为
1，若用⊙O 的外切正六边形的面积来近似估计⊙O 的面积，S＝__2___3__．(结果保留
又∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝15°，D 不正确．故选 D.
2．[2019·湖州]如图 24－3－2，已知正五边形 ABCDE 内接于⊙O，连
接 BD，则∠ABD 的度数是( C )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
【解析】 ∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O，
5．[2019·衢州]如图 24－3－4，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的 正六边形．则原来的纸带宽为( C )
A．1
B. 2
图 24－3－4 C. 3
D．2
【解析】 边长为 2 的正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形组成，其中等边三角形 的高为原来的纸带宽度， 所以原来的纸带宽度＝ 23×2＝ 3.
图 24－3－8
解：(1)如答图，首先作直径 AD，然后分别以 A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，交
⊙O 于点 B，F，C，E，连接 AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF
即为所求；
(2)四边形 BCEF 是矩形．
证明：如答图，连接 OE，BF，CE.
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC，FE＝BC， ∴A︵B＝A︵F＝D︵E＝D︵C，∴B︵F＝C︵E，
第12题答图
∴BF＝CE，∴四边形 BCEF 是平行四边形，
∵∠EOD＝3660°＝60°，OE＝OD， ∴△EOD 是等边三角形，∴∠OED＝∠ODE＝60°， ∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120°， ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴∠CEF＝∠DEF－∠CED＝90°， ∴四边形 BCEF 是矩形．
∴∠ABC＝∠C＝（5－2）5 ×180°＝108°，CB＝CD.
∴∠CBD＝∠CDB＝180°－2 108°＝36°.
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝108°－36°＝72°.
3．如图 24－3－3，要拧开一个边长为 a＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开mm C．6 3 mm
在 Rt△BOH 中，BO＝233， ∴圆的半径 r＝233.
第 6 题答图 如答图②，正六边形内接于圆，EF＝OE＝OF＝23 3，则易得 OD＝1.∴边心距为 1.
7．如图 24－3－5，正十二边形 A1A2…A12，连接 A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝___7_5_°___． 图 24－3－5
根号) 【解析】 如答图，根据题意可知 OH＝1，∠BOC＝60°，
∴△OBC 为等边三角形，
∴BH＝ 33， ∴S＝12× 33×1×12＝2 3.
第 11 题答图
12．作图与证明：如图 24－3－8，已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，请完成下列任务： (1)作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF； (2)连接 BF，CE，判断四边形 BCEF 的形状并加以证明．
9．[2018·贵阳]如图 24－3－6，点 M，N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB，BC 上 的点，且 AM＝BN，点 O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是___7_2__度．
图 24－3－6
【解析】 如答图，连接 OA，OB， ∵在正五边形 ABCDE 中，O 是中心， ∴OA＝OB，∠OAM＝∠OBN， 又∵AM＝BN， ∴△OAM≌△OBN，∴∠AOM＝∠NOB， ∴∠AOM＋∠MOB＝∠NOB＋∠MOB， 即∠AOB＝∠MON， ∵∠AOB 是正五边形的中心角， ∴∠MON＝∠AOB＝3650°＝72°.
【解析】 设该正十二边形的外接圆圆心为 O，如 答图，连接 A10O 和 A3O. 根据题意知 A3A1A1⌒0＝152×⊙O 的周长， ∴∠A3OA10＝152×360°＝150°， ∴∠A3A7A10＝75°.
第7题答图
8．若正六边形的边长为 4 cm，那么正六边形的中心角是__6_0_°___，半径是___4___cm， 边心距是__2__3____cm，它的每一个内角都是__1_2_0_°___．
24.3 正多边形和圆
1．如图 24－3－1，在⊙O 中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( D )
A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长
C.A︵C＝B︵C
D．∠BAC＝30° 【解析】 ∵OA＝AB＝OB，
图24－3－1
∴△OAB 是等边三角形．
第9题答图
10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，进行了如下几个步骤： (1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 24－3 －7①； (2)以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D，连接 BD，如图②. 若⊙O 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是( C )
6．[2018·德阳]已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是
A．2
B．1
C. 3
3 D. 2
【解析】 如答图①，设△ABC 的边长为 a，易得 S△ABC＝ 43a2＝ 3，
( C)
解得 a＝2 或－2(舍去)，∴BC＝2.
∵∠ACB＝60°，∴∠BCO＝30°，
∵OH⊥BC，∴BH＝12BC＝1，