★本章知识结构：
有理数
概念
正数和负数
数轴
相反数，绝对值、倒数
近似数与科学记数法分类
整数
正整数
负整数
分数
正分数
负分数
运算
加法与减法
乘法与除法
乘方
混合运算⎧
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⎧
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★知识要点精析
（一）有理数的有关概念
1. 有理数是整数和分数的总称。

2. 有理数的分类：
有理数
正有理数
正整数
正分数负有理数
负整数
负分数
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
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⎩
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有理数
整数
正整数
负整数分数
正分数
负分数
⎧
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⎩
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⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
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⎩
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3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线
4. 相反数：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数。

零的相反数是零。

从数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点两侧，并与原点的距离相等。

5. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

绝对值等于它本身的数是非负数。

||a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪00
00
从数轴上看一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

（1）||a a a =⇔≥0
（2）||a a a =-⇔≤0
注意不要丢掉“a =0”的情况。

6. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

零没有倒数，通常用a a ()≠0与1
a 表示一对互为倒数的数。

倒数等于它本身的数是±1。

（二）有理数比较大小：
1. 正数都大于零，负数都小于零，即负数<零<正数
2. 两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数反而小
3. 在数轴上右边的数总比左边的数大
（三）有理数运算
1. 运算法则：
（1）加法法则：
同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，一个数同0相加仍得这个数。

（2）减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数
（3）乘法法则：
两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘，n 个不等于0的数相乘积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当有偶数个时，积为正。

n 个因数中有一个为0则积为0。

（4）除法法则：
①除以一个数等于乘以这个数的倒数。

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

③0除以任一个不等于0的数都得0。

（5）乘方的意义： 求n 个相同的因数的积的运算。

a a a a n n =⋅……个
（6）乘方法则：
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，零的任何次幂都是零。

2. 运算律：
（1）加法交换律：a b b a +=+
（2）结合律：()()a b c a b c ++=++
（3）乘法交换律：ab ba =
（4）乘法结合律：()()ab c a bc =
（5）分配律：a b c ab ac ()+=+
3. 运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的，同级运算从左向右进行运算。

★ 思想方法总结：
1. 探究观察法：在有理数这一章中的一些主要概念和性质，例如，数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都离不开观察。

2. 分类讨论的思想：当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。

这种处理问题的思维方法称为分类思想。

本章在研究相反数、绝对值、有理数加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等，都是按有理数分成正数、负数、0三类分别研究的。

分类必须遵循以下两条规则：
（1）每一次分类要按照同一标准进行；
（2）不重复、不遗漏。

例如：如果把有理数分为正数和负数两类，漏掉了零，就错了。

3. 数形结合的思想：利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。

结合数轴表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数大小的比较等，更有直观性。

数形结合法，它是今后学习中的一种重要方法。

在其它科目的学习中，也要结合直观的图形去解决抽象的问题，结合日常生活中的现象去学习书本中的知识，这样能帮助我们分析问题、解决问题，使较难的问题简单化。