第六章 定积分及其应用
第2节定积分的性质
定积分性质
定积分性质
一、定积分性质1-5
证
[()()]d b a
f x
g x x
±⎰
i
i i n
i x g f ∆±=∑=→)]()([lim 1
0ξξλi i n
i x f ∆=∑=→)(lim 1
0ξλi
i n
i x g ∆±∑=→)(lim 1
0ξλ()d b a
f x x =
⎰
()d .
b
a
g x x ±⎰（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）
性质1
证
()d b a
kf x x ⎰
i
i n
i x kf ∆=∑=→)(lim 1
0ξλi i n
i x f k ∆=∑=→)(lim 1
ξλi
i n
i x f k ∆=∑=→)(lim 1
0ξλ()d .
b
a
k f x x =⎰性质2
补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,
c b a <<()
d c a
f x x ⎰
()d ()d b c
a
b
f x x f x x
=
+⎰
⎰()d b a
f x x ⎰
()d ()d c c
a b
f x x f x x
=
-⎰⎰()d ()d .
c
b
a
c
f x x f x x =
+⎰
⎰（定积分对于积分区间具有可加性）
则
假设b
c a <<性质3
证
,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,
0≥∆i x ,
0)(1
≥∆ξ∴
∑=i i n
i x f }
,,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i n
i x f ∆∴∑=→)(lim 1
0ξλ()d 0.
b
a
f x x =≥⎰性质4
性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，
解
令,
)(x e x f x
-=]
0,2[-∈x ,0)(>x f 02
()d 0,
x
e x x -∴
->⎰
02
d x
e x -∴
⎰
02
d ,
x x ->⎰于是
20
d x
e x -⎰
20
d .
x x -<
⎰
性质5的推论：
证
),()(x g x f ≤ ,
0)()(≥-∴x f x g [()()]d 0,b
a g x f x x ∴
-≥⎰()d ()d 0,
b
b
a
a g x x f x x -≥⎰
⎰如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，
（1）
)
(b a <证,
)()
()(x f x f x f ≤≤- ()d ()d ()d ,
b b b
a
a
a
f x x f x x f x x ∴-≤≤⎰⎰⎰说明： 可积性是显然的.
|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）
定积分性质
二、定积分性质6-7
设M 及m 分别是函数
证,
)(M x f m ≤≤ d ()d d ,b
b b a a a
m x f x x M x ∴≤≤⎰⎰⎰()()d ().
b
a m
b a f x x M b a -≤≤-⎰
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6
解,sin 31)(3x
x f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d ,4
33sin x x x x π
ππ≤≤+⎰⎰⎰301d .433sin x x
π
ππ∴≤≤+⎰
解,sin )(x x x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x
x x x -=]2
,4[ππ∈x ,0<)(x f 在]2
,4[ππ上单调下降,故4π=x 为极大点，2
π=x 为极小点,
,22)4(π=π=f M ,2)2(π
=π=f m ,4
42π=π-π=-a b 242sin 22d ,4
4x x x ππππππ∴⋅≤≤⋅⎰241sin 2d .22
x x x ππ
∴≤≤⎰
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，证
1()d b a
m f x x M b a ∴≤≤-⎰()()d ()
b
a m
b a f x x M b a -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，
性质7（定积分中值定理）
积分中值公式
在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，使1()()d ,b a
f f x x b a ξ=-⎰)
(b a ≤≤ξ在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，
即
积分中值公式的几何解释：x y o a b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)
(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。

解由积分中值定理知有],
2,[+∈ξx x 使23sin ()d x x t f t t t +⎰),2)((3sin x x f -+ξξ
ξ=23lim sin ()d x x x t f t t t +→+∞⎰)(3sin lim 2ξξξξf +∞→=)(3lim 2ξξf +∞
→=.6=
定积分性质
三、小结与思考题
小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
(1) 估计积分值；
(2) 不计算定积分比较积分大小．
思考题
思考题解答
⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x f 0,1)(⎩⎨⎧=为无理数
，为有理数x x x g 1,0)
(例
THANK YOU。