高考大题之解析几何1.如图，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．解：(Ⅰ)设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c =22a b -，∵e =35c a =，∴a =53c ，b =43c ． ∴A (0，43c )，B (-53c ，0)，C (0，-43c )，∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x yc c--=，联立解得D 点的坐标为(-54c ，13c )． ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·43c =15，解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为2212516x y +=．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-154，1)．假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上． 当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ． ∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)， 根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-25140.故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M (-25140，8)，N (25140，0)． 2.如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点，AF 的最大值为M ，BF 的最小值为m ，满足234M m a ⋅=。

（Ⅰ）若线段AB 垂直于x 轴时，32AB =，求椭圆的方程； （Ⅱ） 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两点，O 是坐标原点，记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围。

解：(Ⅰ) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =， 又2322=ab 且222c b a +=，得43,12==b a ， 因此椭圆的方程为：13422=+y x (Ⅱ)由(Ⅰ)可知2a c =，223b a c c =-=，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-= 从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，所以22243(,)4343ck ckG k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ck x k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.令12St S =，则9t >，从而1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41.3．已知B A ,是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，(2,0)B ，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点N M ,.交直线4=x 于点P ，且直线PB PF PA ,,的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ （不垂直x 轴）的中垂线交x 轴与于T 点（1）求椭圆C 的方程；（2）求MNT ∆的面积的最大值解：（1）设(4,)P t直线PB PF PA ,,的斜率成等差数列⇔2462t t tc =+-1c ⇒= 所以椭圆方程22143x y += （2）设直线MN 方程为1x my =+联立22143x y +=得22(34)690m y my ++-= 2144(1)0m ∆=+>2122121||34m y y m +-=+由点差法可知RQ 中垂线与x 轴相交于点1T 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，212191||||22MNTm S TF y y ∆+=⋅-= 当0m =时，max 98S =4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 是抛物线24y x =的焦点，过点2F 垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的线段长度为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MP MQ 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．.解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点坐标为()0,1，则椭圆C 过点⎪⎭⎫ ⎝⎛±23,1,则⎪⎩⎪⎨⎧=++=149112222b a b a ,解得⎩⎨⎧==3422b a ∴椭圆C 的方程为13422=+y x （Ⅱ）假设在x 轴上存在定点()0,1x M 满足条件，设()00,y x P ，则()m k Q +2,2，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y ,得()0124834222=-+++m kmx x k .()()0124344642222=-+-=∆∴m k m k ,即03422≠∴=+m m k ，此时⎪⎭⎫⎝⎛-∴=+=-=+-=m m k P m m kx y m k k km x 3,4,3,43440020, (),2,2,3,411m k x MQ m x mkMP +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴()32241211+-+-=•∴x x m kx MQ MP 0241=-∴x ，即211=x 时4932121=+-x x∴存在点⎪⎭⎫⎝⎛0,21M 使得MP MQ 为定值495.若曲线22122:1(0),(0)x y C a b y a b +=>>≤的离心率e =且过点P 1)-，曲线22:4C x y =，自曲线1C 上一点A 作2C 的两条切线切点分别为,B C ．（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）求ABC S ∆的最大值．解：（Ⅰ）221(0)164x y y +=≤ (Ⅱ)设BC l :y kx b =+ 24x yy kx b⎧=⎨=+⎩2440x kx b --=,12124,4x x k x x b +==-，2111:()4x AB y k x x =-+，代入24x y =，得221111440x k x k x x -+-=221111161640k k x x ∆=-+= 1112k x = 2111:24x AB y x x =-同理 2221:24x AC y x x =- 得12121()2:14x x x A y x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(2,)A k b -,所以2241164k b +=,224(02)k b b +=≤≤，22221A BC k b d k---=+2121616x x k b -=+ 2121BC k x x =+-2322222122332222221116164()2111717174(4)4(())242ABCk b S k x x k b k b k b k b b b ∆--=+-=++=++=-+=--+≤xyABC当115,2b k ==. 6.已知椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0322).（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y kx m =+(0)k ≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 解：（1）依题意可得()222222221,3b c a a b c⎧⎪⎪⎝⎭=⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎩解得⎩⎨⎧==12b a 所以椭圆C 的方程是.1422=+y x （2）当k 变化时，2m 为定值，证明如下：由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2221484(1)0k xkmx m +++-=.设P ),(11y x ，Q ),(22y x .则122814kmx x k+=-+，()()212241,*14m x x k -=⋅⋅⋅⋅⋅+ 直线OP 、OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+,∴121212124y y kx m kx mk x x x x ++=+=+，得()12122kx x m x x =+, 将()*代入得：212m =，经检验满足0∆>7.如图，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4．（1）求椭圆C 的方程； （2）直线:l 1x =与椭圆C 交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，B A ,是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值.解:（1）依题意，222124,2,,1,32a a e cb ac ===∴==-=∴椭圆C 方程为：22143x y += （2）易知33(1),(1)22P Q -，，,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB ：12y x t =+与椭圆联立得2230x tx t ++-=，∴2212304t t ∆=->⇒<，121||||0=)2APBQ S PQ x x t ∴=-===取“”APBQ S ∴的最大值是8．如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线1C ：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆2C ：122=+y x 相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线1C 的方程； （Ⅱ）当正数p 变化时，记21,S S 分别为FOQ FPQ ∆∆,的面积，求21S S 的最小值． 解：（Ⅰ）设点)2,(200px x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='，因为直线PQ 的斜率为1，所以10=p x 且02220=--px x ，解得22=p ， 所以抛物线1C 的方程为y x 242=．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(20020x x px p x y -=-，即02220=--x py x x ， 根据切线又与圆相切，得r d =1，化简得2204044p x x +=，由04420402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,2(200p x x Q -，所以20000||2(2)2P Q x PQ x x x p=-=-=-，点)2,0(pF 到切线PQ的距离是204x d ===，所以32010||1(2)216x S PQ d x p =⋅=-，02221x px OF S Q ==，所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(2020202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当44242020-=-x x 时取“＝”号，即22420+=x ，此时，222+=p ， 所以21S S 的最小值为223+． 9.已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1P 是椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上一点，21,F F 分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，x PF ⊥1轴。