才子教育
小学奥数系列
第11讲 巧解圆的周长和面积（一）
本节研究圆与各种图形的组合图形。
一般的组合图形都是有一些基本图形拼合或重叠而成的。
细心观察，识别图形是解这类题的关键。
（1） 常用技巧：确定弧的长度，弧所对的圆心角大小。
（2） 圆心角分别为60°，90°，120°，270°，···的扇形可以看 作是6
1，4
1，3
1，4
3…的圆来计算面积。
例1 如右图，四根直径相同的管子 别一根金属带紧紧的捆在一起，一直阴影部分的面积是0．615平凡米，试问：金属带的长度是多少
米？
分析与解 阴影部分的面积是以4个圆心为顶点的正方形的面积减去一个圆的面积。
设管子的直径为d ，则
d 2-π×（2
1
d ）2=d 2 ×（1-4
π）=0.615，d=1
金属带的长度正好是直径的4倍和一个圆的周长总和：
1×4+π×1=4+3.14=7.14（米）
答金属带的长度是7.14米。
才子教育小学奥数系列做一做1 有7根直径2分泌的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，问：最短需要多少米长的绳子？（打扣用的绳子不计）
例2、用两根都是6.28米长的铁丝，分别为成一个正方形和一个圆形，问：哪一个的面积大，大多少？
分析与解围成的正方形边长是
6.28÷4=1.57（米）
这个正方形的面积为
1.572=2。
4649（米）2
围成的圆的半径是
6.28÷（2π）=1米）
这个圆的面积为
π12=3.14（米2）
所以圆的面积比正方形的面积大。
3.14-2.4649=0.6751米2。
做一做、用两根长都是12.56厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，问：哪一个面积大？大多少？
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例3、如右图，三角形S1的面积是是24平方厘米，斜边长10厘米。
将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？（π≈3.14）
分析与解 S
，可见
扫过的面积=S2+扇形面积
=24+10×10×3.14
=102.5（厘米2）
答：三角形扫过的面积是102.5厘米2。
做一做、右图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。
设A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点（见图），那么，
图中阴影部分的面积是多少？
例4、如右图，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米。
问：阴影部分的面积是多少？
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分析与解 以AB 为轴作出扇形ABCD 的对称图形（如图），那么所求阴影部分的面积等于半径为AC 的圆面积的4
1
减去直角三角形ACC ＇的面积所得差的一半，即所求阴影部分的面积为
［3.14×（62+62）×4
1-（62+62）÷2］÷2=10.62（厘米2） 答：阴影部分的面积是10.62厘米2。
做一做、计算右图阴影部分的面积。
（单位：厘米）
例5、如图，∠BOA=90°，若以OA 为直接画半圆交OD 于K ，且∠AOD=450，又图中①的面积为1厘米2，求阴影部分的面积。
分析与解：设OA=R 则扇形AOB 的圆心角是90°，半径为R 。
因为S 扇形AOB =41πR 2=2S 扇形AOD ，S 扇形AOD =8
1πR 2
S 扇形AKO=21错误！未找到引用源。
π×（2R ）2=8
1πR 2 又因为S 半
圆AKO
=S 扇形AOD
所以S 阴影=S ①=1（厘米2）
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答：阴影部分的面积是1厘米2。
做一做、右图中阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大28平方厘米直径AB 长40厘米，求BC 的长。
例6、草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：这只羊能够活动的范围有多大？
分析与解 如右上图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的43个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的4
1个圆。
所以羊活动的范围是
π×302×4
3
+202×4
1+π×102×41=π×（302×43+202×41+102×4
1）
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=3.14×（675+100+25）=2512（米2）
做一做、已知狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见下图），绳子长是4米，求狗所能到的地方的总面积。
例7、下图中的圆是以O 为圆心，半径为10厘米的圆，求阴影部分的面积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出，要想得到阴影部分S 1的面积，就必须想办法求出S 2和S 3的面积。
=2
1πr 2=2
1πr102=50π（厘米2）
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S 3的面积又要用下图的基本思路是：
S 5=2
1 r 2×2=r 2=102=100（厘米2）
要想求出S 4的面积，必须求出半径R 。
因为S 5的面积也等于2
1 R 2，因此得到2
1 R 2=100，即R 2=200。
可见，现在还是无法求出R 。
联想扇形的面积公式S 扇=πR 2×360
a
，只要得到R 2即可使用此公式。
由此得到 S 4=πR 2×
360a =200π×360
90=50π（厘米2） 现在就可以求出S 3的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S 3= S 4-S 5=50π-100（厘米2）
S 1= S 2- S 3=50π-（50π-100）=100（厘米2）
做一做、如图，在以AB 为直径的半圆上取一点C,分别以AC 和BC 为直径在△ABC 外作半圆AEC 和BFC ，当C 点在什么位置时，图中两个弯月形（阴影部分）AEC 和BFC 的面积和最大？
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巧练习——温故知新（十一）
1、如右图所示，已知大圆O的半径为20厘米，求a、b、c、d四个小圆的周长之和。
2、如图1、图2所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
3、如下图所示，已知△OAB为等腰直角三角形，面积为20厘米2，
求阴影部分的面积。
4、如下图所示，已知长方形ABCD中，CD长为10厘米，BC宽为6厘
才子教育小学奥数系列米，DCE为扇形，求两块阴影部分的面积之差。
5、如下图所示，已知正方形边长为20厘米，求阴影部分的面积。
6、如下图所示，大圆半径为6，求阴影部分的面积。
7、已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将边中点用直线连接起来，得到下图。
那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
才子教育小学奥数系列8、如下图所示，正方形ABCD的吗为200厘米2，求内切圆的面积。
（π去3.14）
9、如下图所示，已知圆的面积为3140厘米2，求内接正方形ABCD的
面积。
（π取3.14）
10、如下图所示，已知大正方形的面积为100厘米2，小正方形的面积为50厘米2，求阴影部分的面积。
11、如下图所示，已知在圆O中，线段AB和CD将圆分成S1，S2，S3，S4四部分，而且圆心O到AB和CD的距离分别为3厘米和2厘
才子教育小学奥数系列米，S1和S4的面积和为180平方厘米，求圆的面积。
12、下图所示是一个古座钟的图形，如果内圆的半径为12厘米，求阴影部分的面积。
13如下图所示，已知三个圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积是多少？
14、如下图所示，有一卷透明胶，每层厚度为0.05厘米，求将这卷
透明胶全部展开以后的长度。
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15、如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针旋转90度，那么，AB边旋转时所扫过的面积是＿＿＿平方米。
（π取3.14）。