精品文档一二三四五全校理工科高等数学（90）（下）期中试卷一、填空题(每小题3分，共27分)1、211ln1yu xy-=-+的定义域为)1,1(]1,1[-⨯-；考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域）2、平行于向量a=}{6,7,6-的单位向量是}{6,7,6111-±；考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别）3、点)1,2,1(到平面22100x y z++-=的距离为1；考点：点到平面的距离公式4、过点)1,1,2(且垂直于向量23i j k++的平面方程为732=++zyx；考点：平面方程（注意：点法式方程）5、函数2yxz+=在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为5；考点：方向导数（注意：书上的重要结论——函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模）6、交换积分次序：22212(,)x xxdx f x y dy--⎰⎰=⎰⎰++-21121),(yydxyxfdy；考点：交换积分次序（注意：将XD型区域转化为YD型区域）7、⎰⎰⎰≤++Ω++=1222222)(Izyxdvzyx：，则I在球坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰1042sinρφρθφππddd；考点：球面坐标系8、椭球面632222=++zyx在点)1,1,1(处的切平面方程是632=++zyx；考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式）9、曲线22203y z xz⎧+-=⎨=⎩在xoy面上的投影曲线的方程为⎩⎨⎧==+-922zxy。

考点：空间曲线在坐标面上的投影√√精品文档二、计算题（每小题6分，共48分） 1、f 具有二阶连续的偏导数，),(22y x xy f z =，求2z x y ∂∂∂。

解：(1) 21222122xyf f y xy f y f x z +=⋅+⋅=∂∂； (2)()()2222122121121222222x f xy f xy xf x f xy f y yf y x z ⋅+⋅++⋅+⋅+=∂∂∂ 22312221132125222yf x f y x f xy xf yf ++++=。

考点：多元抽象函数的高阶导数 （注意：符号的涵义） 2、求函数ln()y z yu x y z =的一阶偏导数。

解：原函数变形为z y y z x y u ln ln ln ++=，则 x y u x =， z y z x u y ln ln ++=， z y y u z +=ln 。

考点：多元函数的一阶导数（注意：先应用自然对数的性质变形） 3、从点(0,1,1)-作直线⎩⎨⎧=-+=+07201z x y 的垂线，求垂线的方程。

解：(1)由条件可得，已知直线的方向向量)1,0,2()2,0,1()0,1,0(-=⨯=s， (2)过点(0,1,1)-垂直于已知直线的平面方程为0)1(1)1(0)0(2=--++-z y x ，即012=+-z x ， (3)取已知直线过定点)3,1,1(-，则该直线的对称式方程为130121--=+=-z y x ， 从而其参数式方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=.3,1,21λλz y x (4)将直线的参数式方程代入平面方程得：01)3()21(2=+--+λλ，解得0=λ， 从而已知直线与垂面的交点为)3,1,1(-， (5)所求的垂线的方向向量)2,0,1(=s ，因此所求的垂线方程为2101-=+=z y x 。

考点：过已知点求某直线的垂线（注意：先求过已知点求某直线的垂面方程，然后求垂足，最后利用点向式方程求垂线方程）精品文档4、在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求出一点，使过该点的切线平行于平面42:=++z y x π。

解：(1)取已知曲线Γ上的点P 对应于0t 满足题意，则在该点上曲线Γ的切向量为),3,2,1(200t t T =(2)已知平面的法向量为),1,2,1(=n则由题意得n T⊥，从而0=⋅n T，即0341)1,2,1()3,2,1(200200=++=⋅t t t t ，解得10-=t 或31-， 故所求的点为)1,1,1(--和⎪⎭⎫⎝⎛--271,91,31。

考点：空间曲线在已知点的切线（注意：空间曲线在已知点的切向量公式）5、过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程。

解：(1)由条件得已知直线过定点)0,3,4(-，其方向向量为)1,2,5(=s，(2) 点(3,1,2)-和点)0,3,4(-确定的向量为)2,4,1(-=a，则所求平面的法向量为)22,9,8()2,4,1()1,2,5(--=-⨯=⨯=a s n，从而所求的平面方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x 。

考点：经过已知点和已知直线的平面（注意：用向量积求所求平面的法向量）6、已知⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z ，求dx dzdx dy ,。

解：对原方程组两边分别关于x 求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=,0642,22dx dz z dx dy y x dxdy y x dx dz解之即得yz y xz x dx dy 626++-=，zxdx dz 31+=。

考点：一元隐函数组的求导（注意：自变量与函数值的区分）精品文档7、σd x y y x ||21011-⎰⎰≤≤≤≤- 解：设21}11,10|),{(D D x y y x D ⋃=≤≤-≤≤=， 其中}10,1|),{(21≤≤≤≤-=y y x y x D ，}10,1|),{(22≤≤≤≤=y x y y x D ， 则原式σσσd y x d x y d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=21)()(||222 ⎰⎰⎰⎰-+-=-121012122)(y )(y y dx y x d dx x y dy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=102410242121dy y y dy y y 56=。

考点：二重积分（注意：区域的可加性和二次积分的应用）8、计算积分⎰⎰⎰+≤+=1122322yx z y x dz e dxdy I 解：设⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos z z r y r x θθ 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,1,20,10z r r πθ 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ω10101203332zz rz z rdr e dz rdz e dr d dz rdrd e I πθθππππ313131233-===⎰⎰e dz e dz e z z z 。

考点：三重积分（注意：柱面坐标系的应用）三、计算22(),DI x y d D σ=+⎰⎰由曲线x =直线 1,1y y =-=及2x =-围成的区域。

（6分）解：设212\}11,12|),{(D D y y x y x D =≤≤---≤≤-=，其中}11,02|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ,}11,01|),{(22≤≤-≤≤--=y x y y x D ，则σσd y x d y x I D D ⎰⎰⎰⎰+-+=21)()(2222，又320238)()(112022211221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dy y dx y x dy d y x D σ， 4)(12232222πθσππ⎰⎰⎰⎰==+rdr r d d y x D ，故4320π-=I 。

考点：二重积分（注意：区域的可加性和极坐标系的应用）精品文档四、求22()Vx y z dV++⎰⎰⎰，这里:V由曲线22y zx⎧=⎨=⎩绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z=所围的立体。

（7分）解：由条件得⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤≤+=vyDyxzyxzyxV),(,42),,(22，其中}8|),{(22≤+=yxyxDvy，则原式⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-++=++=+xyxyDyxDdxdyyxyxdzzyxdxdy222224222)(858)(4)(22πθπ3256858422422=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰⎰rdrrrd。

考点：三重积分（注意：旋转曲面、极坐标系的应用）在计算时x^2+y^2/=2z五、计算22()Vx y dV+⎰⎰⎰，这里222:425()V z x y=+由曲面与平面5z=所围立体。

（6分）解：由条件得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+=vyDyxzyxzyxV),(,525),,(22，其中}4|),{(22≤+=yxyxDvy，则原式⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+=+xyxyDyxDdxdyyxyxdzyxdxdy23222252522)(25)(5)(22πθπ82552422=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰rdrrrd。

考点：三重积分（注意：极坐标系的应用）六、求曲面222:2S x y z xz yz++++=的最高点与最低点。

（6分）解：欲求已知曲面的最高点与最低点，需求z的最大值与最小值即可。

对原方程两边分别关于x和y求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂++∂∂+,022,022yzyzyzxyzzyxzyxzxzxzzx解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=∂∂=+++-=∂∂,022,022zyxzyyzzyxzxxz可得2zyx-==，将之代入原方程得1,2==±=yxz，即2,2maxmin=-=zz，因为原曲面必存在最高点与最低点，故其最高点的坐标为)2,1,1(--，最低点的坐标为)2,1,1(-。