讲义：圆与方程
圆的标准方程与一般方程
1、圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）； 圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222
x y r +=。
2、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
（1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 特点：（1）①2x 和2
y 的系数相同，且不等于0； ②没有xy 这样的二次项
（2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了
（3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标
准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
3、过圆上一点的切线方程： ),(00y x M 在圆222r y x =+上，过M 的切线方程为200r y y x x =+
当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上，过M 的圆的切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--
典型例题
例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。
例2、求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。
例3、求以)3,1(O 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.
例4、已知圆的方程是2
22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。
例5、求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
巩固练习：
1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.
4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
5、求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程;
直线与圆、圆与圆的关系
1、点与圆的位置关系：
设圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，将M 带入圆的标准方程， 结果>r 2在外，<r 2在内.
判断点P 在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P 到圆心的距离d 与半径r 的大小关系： d >r ⇔点P 在圆外；即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外的条件是22020)()(r b y a x >-+-；
d =r ⇔点P 在圆上；在圆22)()(b y a x -+-=2r 上的条件是22020)()(r b y a x =-+-；
d <r ⇔点P 在圆内；在圆222)()(r b y a x =-+-内的条件是22020)()(r b y a x <-+-。
2、直线与圆的位置关系：
①代数法：由方程组⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0
r b y a x C By Ax ，得)0(02
2≠=++m p nx mx ，mp n 42-=∆
0>∆方程组有两解
0=∆方程组有一解
0<∆方程组无解
②几何法： 直线与圆相交
r d <
直线与圆相切
r d =
直线与圆相离 r d >
3、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）
（1）相离1212C C r r ⇔>+； （2）外切1212C C r r ⇔=+； （3）相交121212r r C C r r ⇔-<<+；
（4）内切1212C C r r ⇔=-； （5）内含1212C C r r ⇔<-.
例1、设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2
=m 的位置关系为（ ）
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
例2、圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于（ ） A.6 B.
225 C.1 D.5 例3、已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.
证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点。
巩固练习：
1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）
A. 03=--y x
B. 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x 2、圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．221+
D ．221+ 3、若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截
距是 __________________.
4、点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值。
5、已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，
求圆C 的方程。
课后作业
1、若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）
A ．x+y=0
B ．x+y-2=0
C ．x-y-2=0
D ．x-y+2=0
2、圆x 2+y 2+6x-7=0和圆x 2+y 2
+6y-27=0的位置关系是（ ）
A ． 相切
B ． 相交
C ． 相离
D ．内含
3、点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________
4、 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________； 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________；
若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________；
5、若方程22
0x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是: ____________.
6、圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .
7、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程
8、求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。