σx
第二项 ~ q 同阶, （弹性力学的修正 项）
l ~ q( ) 同阶, h
τ xy
（与材料力学解同） （材料力学中不计）
σ y ~ q 同阶,
应力与材料力学解比较:
l 2 l 最主要量级 q( ) , 和次要量级 q ,在材料 h h
力学中均已反映，且与弹性力学相同。 最小量级 ~ q , 在材料力学中没有。
( σ x ) x = l dy ⋅ 1 = 0 , ( σ x ) x = l dy ⋅ 1 ⋅ y = 0 , (τ
xy
−h /2
) x = l dy ⋅ 1 = − ql 。
由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。
应力
最后应力解答：
σx
2 6q 2 y y 3 2 = 3 (l − x ) y + q ( 4 2 − ) h h 5 h
2
(d)
平面问题的多项式解答
等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆 解法确定一下各种多项式能解决的问题。 1.一次式
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 不难验证： 1, x, y , x , y , x y , xy , x , y 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
2 2 2 2 3 3
⎛ ∂2 ∂2 ⎜ ⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎝
⎞ 4 ⎟ ϕ ( x , y ) = ∇ ϕ ( x, y ) = 0 ⎟ ⎠
2
逆解法与半逆解法 多项式解答
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ⎛∂ ∂ ⎞ 4 ⎜ +2 2 2 + 4 =0 ⎟ ϕ(x, y) = ∇ ϕ(x, y) = 0 ⎜ ∂x2 + ∂y2 ⎟ 4 ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ ⎝
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
样的受力问题？
o
h/2 h/2
x
( l >>h)
y
l
按逆解法。
4 Φ 1. 将 代入相容方程，可见 ∇ Φ = 0 是
Φ 有可能成为该问题的解。 满足的。
2. 由 Φ 求出应力分量
2 12 Fxy Φ ∂ σ x = 2 =− 3 , h ∂y 2 ∂ =0, σy = Φ 2 ∂x 2 y τ xy = − ∂ Φ = − 3F (1− 4 2 ). ∂x∂y 2h h 2
x = l (正x面),
在x = 0,l 小边界上的面力 f x , f y 如下图 中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以 解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问 题。
(a)
F
F
M (b)
半逆解法
3.半逆解法 步骤： ⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情 况，边界条件等）； ⑵ 由应力(d)式，推测 Φ 的函数形式；
= M I
y y y + q (4 h h
2 2
− 3 ), 5
τ
σ
xy
2 FS S 6q 2 h = − 3 x( − y )= , 4 bI h
y
2y 2 q y = − (1 − )( 1 − ) . 2 h h
应力的量级 当l >> h 时, x ~l 同阶， y ~ h 同阶.
l 2 第一项 ~ q( ) 同阶,（与材料力学解同）; h
4 ∇ ⑶ 代入 Φ = 0 ，解出 Φ ；
逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤： 否
根据问题的特 点设出部分应 力分量 求出应力函数 Φ 是否满足 相容方程
否
结束
是
求出其他应力分量
是
是否满足 边界条件
简支梁受均布荷载
。
简支梁 2 l × h × 1 ，受均布荷载 q 及两端支撑反 力ql 。
∇ 4Φ = 0.
⑵ 求应力
σ x =6ay,
σ y =τ xy =0.
(a)
⑶ 检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。
主要边界
主要边界y = ± h / 2, (σ y ) y=± h/2 =0, (τ xy ) y=±h / 2 = 0 . 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
Φ = a + bx + cy
当不计体力时，对应的应力状态为：
σ x = σ y = τ xy = 0
相应边界条件为： f x = f y = 0 可见线性函数对应于无面力无应力的状态。 故: 应力函数中加减一次式，不影响应力。
2.二次式
Φ = ax 2 + bxy + cy 2
2 不计体力时， Φ = ax 先来看
因为 因为
τ xy ∝ Fs = − ql + q ( l + x ),
σ y ∝ q = 常数,
所以，可假设 τ xy = xf 1 ( y ) + f 2 ( y ); 所以，可假设 σ y = f ( y )。 现采用此假设。
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分，
∂ 2Φ = σ = f ( y ), y ∂x 2
(d)
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a = 2 M / h 3。
12 M y = M y, σ = 最终得应力解 x I h3
σ y =τ xy = 0. (e)
当 l >> h 时，即使在 x = 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。
矩形梁
F 察应力函数 Φ = 3 xy (3h 2 − 4 y 2 )能解决什么 2h
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y = ± h / 2上，
σ y = 0, τ yx = 0.
因此，在 y = ± h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x = f y = 0.
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
x = 0(负x面), f x = −(σ x ) x =0 = 0, 3F y2 (1 − 4 2 ); f y = −(τ xy ) x =0 = 2h h 12 Fl f x = (σ x ) x = l = − 3 y , h 3F y2 (1 − 4 2 ). f y = (τ xy ) x =l = − 2h h
相容方程对于任何 x, y 均应满足,故 x , x , x
2 1
0
的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。
半逆解法
解出:
⎫ f = Ay + By + cy + D , ⎪ ⎪ 3 2 f 1 = Ey + Fy + Gy , ⎬ ⎪ 5 4 3 2 A B f 2 = − y − y + Hy + Ky .⎪ 10 6 ⎭
τ xy = − x ( 3 Ay 2 + 2 By + C ) − ( 3 Ey 2 + 2 Fy + G )
对称性条件─由于结构和荷载对称于 τ xy 为 y轴，故 Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数，
x的奇函数，故 E = F = G = 0 。
主要边界
⑸ 考察边界条件。 主要边界
如图如果矩形梁侧面尺寸较小，面力可简化为两个力偶， 则对应的是纯弯曲的问题。
矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
∇ 4Φ = 0
本题是平面应力问题,且为单连体， Φ 应满足相容方程及 s = sσ 若按 Φ 求解， 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ = ay 3 ，且满足
∂Φ = xf ( y ) + f 1 ( y ), ∂x
x2 Φ= f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ). (a) 对x再积分， 2
半逆解法
⑶ 将 Φ 代入相容方程，求解 Φ :
4 4 4 2 d ( ) d ( ) f y f y d ( ) d f ( y) f y 2 1 1 2 x + x +( +2 ) =0. 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 2 2
4
4
4
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤： 取满足相容方程的 Φ 根据边界条件求出面力 求出应力分量 σ x , σ y , τ xy 考察能解决什么问题
逆解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 ∇ 4Φ = 0. ⑵ S = Sσ 上应力边界条件,
第5讲
逆解法与半逆解法
孙远韬 sun1979@
同济大学
调和函数
∂σ x ∂τ yx + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂y + ∂τ xy ∂x + fy = 0
当体力是常量时，特解可取为
σ x = − f x x,
σ y = − fy y
τ xy = 0
齐次方程
∂σ x ∂τ yx + =0 ∂x ∂y 齐次方程 的通解可取为:
q
ql
o
h/2 h/2
x
ql
l
y
l
按半逆解法求解。
⑴ 假设应力分量。由材料力学 σx ∝ M, τ ∝ Fs , σy ∝ q, 因为