例5
计算
1
2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
4.
单位圆的面积
1
例6 计算 2arcsixndx. 0
4
xdx
0 1cos2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
xdtanx
02
12xtanx04
1 2
4
0
tanxdx
812lnsexc0 4
8
ln2 4
.
例3 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排
泄速率函数是 r(t)te,kt其中k是常数.求在时间
间隔 0,T 内,排出药物的量D
解
计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
f(x )s3 ix n s5 ix n coxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
x
相 应 的 改 变 .
（2）求 出f[(t)](t)的 一 个 原 函 数 (t)后 ， 不
必 象 计 算 不 定 积 分 那 样 再 要 把 (t)变 换 成 原 变 量 x的 函 数 ， 而 只 要 把 新 变 量 t的 上 、 下 限 分 别 代 入 (t)然 后 相 减 就 行 了 .
例2 解
导 数 ， 则 有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导
uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
budvuvb
b
vd.u
a
aa
例7
计算 4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
5
2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
例3
计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
0
a
0
a
f(x)dxa f(t)dt0
f
(t)dt,
① f(x )为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
a
20 f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d0x .
D
T
r(t)dt
T tektdt
0
0
k1(tektT0
Tektdt)
0
Tk
ekt
1 k2
ekt T 0
1 k2
ekT(T kk12)
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（3）当 t在区间 [,]上变化时，x(t)的值 在 [a,b]上变化，且 ()a、 ()b，
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
应用换元公式时应注意:
（1）用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
例4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d 中 令 x x t,
解 令 uarcsx,indvdx,
则 du dx , vx, 1 x2
1 2 0
arcsixndxxarcsxin012
1 2
0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
（二）分部积分公式
设 函 数 u(x)、 v(x)在 区 间 a,b上 具 有 连 续
第四小节 定积分的换元积分法和分部积分法
例1 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 2co s5xsin x d x = -2co s5x dco sx
0
0
令 tcox,s
x t0, x0t1,
2
原式
0 t5dt
t6 1
1.
1
60 6
（一）换元积分法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；