问：如何定义 lim f (x) ? x 以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)
lim f (x) A f (x) A (x) lim(x) 0
证 以极限 lim f (x) A 为例。 xx0
lim f (x) A
xx0
0, 0,
x : 0 x x0 f (x) A
0, 0,
x : 0 x x0 (x)
lim (x) 0
xx0
x : 0 x x0 f (x) M
严格地说，lim f (x) 表明极限 lim f (x)
x x0
x x0
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是
无穷大。
注意：
(1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无 穷大。
(2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。
(2) 0 是唯一的无穷小常数。
(3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷小。
如 (x 1)2 (x 1) 是无穷小 但 (x 1)2 (x 0) 不是无穷小
直观地看，应当有
lim f (x) A lim[ f (x) A] 0
以下定理说明了无穷小的重要性 定理 1 （极限与无穷小的关系）
((x) f (x) A)
xx0
(x) f (x) A 是无穷小
f (x) A (x) α(x) 是无穷小
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
lim f (x) A f (x) A (x) lim(x) 0
此定理表明：在自变量的某个变化过程中，
若 lim f (x) A 则 f (x) A 无穷小 若 f (x) A 无穷小 则 lim f (x) A
两个基本极限： lim 1 lim 1
x x0
x x0
1
1
lim e x e 0 lim ex e
x0
x0
1
lim arctan arctan()
x0
x
1
lim arctan arctan()
x0
x
定理 2 （无穷大与无穷小的关系）
无穷大与无穷小有倒数关系。
直观记忆
lim f (x) lim 1 0
这就是讨论无穷小的意义之一。
二、无穷大 (Infinity)
例 考察当 x 0 时，1/x 的变化趋势。
当 x 0 时，1 x
可以大于任何正数 M
例如 要
1 100 x
只要 x 1 100
要 1 1000 只要 x 1
x
1000
M 0 无论它多么大！
要 1 M 只要 x 1
x
第四节
第一章
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
定义 1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0 为极限的函数（或变量）。
若 lim f (x) 0 xx0 则 f (x) 是 x x0 时的无穷小
若 lim f (x) 0 x 则 f (x) 是 x 时的无穷小
x0
lim f (x) M 0, 0
xx0
x : 0 x x0 f (x) M
问：如何定义 lim f (x) ? x 以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
M-X 定义
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
y1 x
填空：
当 x 1 时， 1 是负无穷大
x 1 1
lim x1 x 1
1
当 x 0
1
时，2 x 是正无穷大 1
lim 2x
x0
1
y 2x
1
lim 2x
x0
1
lim 2x 0
x0
1
lim 2 x 不存在
x0
两个基本极限：
1 lim x x0
1 lim x x0
y1 x
f (x)
1 0
lim f (x) 0 lim 1
f (x) f (x) 0
1 0
例如
limln x 0 lim 1
x1
x1 ln x
lim
x0
ln
x
lim x0
1 ln x
0
lim ex 0
x
lim
x
1 ex
y ex
y ln x
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
( |x - x0 |< δ )，就能保证 f(x)的绝对值大于事先 任意给定的 M 。
定义 2
无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值 无限增：
x x0
M 定义
M 0 0 使得，当 0 x x0
时，就有 f (x) M
lim f (x) M 0, 0
lim 1 0 x x
ex (x )
lim ex 0
x
y ex
1.4 无穷小 与无穷大 5
下列函数何时为无穷小？
1
2x (x 0 )
1
y 2x
x 0 1
x
1
lim 2x 0 x0
注意：
(1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不 是无穷小，如 0.01, 0.0000023。
例2 证明： lim x 1 x1 x 1
分析 M 0 要 x 1 M x 1
要 x 1 1 2 M
x 1
x 1
只要 x 1 ?
只要 1 2 2 1 M
x 1 x 1
得 2 M 1 x 1
所以 x 1 2
M 1
证明：lim x 1 x1 x 1
M 0 要 x 1 1 2 M