lim sin x 1 x C． x0
lim x sin 1 1
D． x
x
【答案】B
【考点】利用重要极限求极限
【解析】
lim sin x 1(重要极限) x0 x
A 项，因为 x→0，所以 x2→0，所以利用上面重要极限的结论知：
sin x2 lim
lim
sin
x2
1
x x0
2
x x2 0
2
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x x0
x x0
x x0
x x0
f
(x0 ) x0
f
lim
x x0
(x) f (x0 )
x x0
f (x0 ) x0 f (x0 )
d (x) et2 dt
dx 4．已知 φ（x）可导，则
(x2 )
等于（ ）。
(x)e (x)2 2x(x2 )e (x2 )2
A．
e e (x)2
C 项，即为上面重要极限结论。
D 项，因为 x→∞，那么 1/x→0，令 t＝1/x，则 t→0，且 x＝1/t。利用重要极限知：
lim x sin 1 lim 1sin t lim sin t 1
x
x t0 t
t0 t
2．设 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）。 A．f[g（x）] B．f[f（x）] C．g[f（x）] D．g[g（x）] 【答案】D 【考点】函数的奇偶性 【解析】 A 项，令 T（x）＝f[g（x）]。因为 T（－x）＝f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝f[g（x）]，
dx ( x2 )
dx
(x)e (x)2 2x(x2 )e (x2 )2
【说明】如果 φ（x）、ψ（x）可导，则：
①
d (x) f (t)dt f (x)(x)
dx a
②
d (x) f (t)dt f (x)(x) f (x) (x)
dx (x)
f (x)dx F (x) C xf (1 x2 )dx
5．若
，则
＝（ ）。
A．F（1－x2）＋C
B．－（1/2）F（1－x2）＋C
C．（1/2）F（1－x2）＋C
D．－（1/2）F（x）＋C
【答案】B
【考点】不定积分
【解析】计算得∫xf（1－x2）dx＝（－1/2）∫f（1－x2）d（1－x2）＝（－1/2）
F（1－x2）＋C，这里 C 均表示常数。
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所以 T（－x）＝T（x），所以 f[g（x）]为偶函数。
B 项，令 T（x）＝f[f（x）]。因为 T（－x）＝f[f（－x）]＝f[f（x）]，所以 T（－x）
＝T（x），所以 f[f（x）]为偶函数。
所以 4×1＋a＝0，计算得 a＝－4。
7．设向量 α 与向量 β 的夹角 θ＝π/3，|α|＝1，|β|＝2，则|α＋β|等于（ ）。
A． 8 B． 7
C． 6 D． 5
【答案】B
【考点】向量的模
【解析】计算得
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6．若 x＝1 是函数 y＝2x2＋ax＋1 的驻点，则常数 a 等于（ ）。
A．2
B．－2
C．4
D．－4
【答案】D
【考点】驻点
【解析】函数 y 关于 x 求导，得 y′＝4x＋a。因为 x＝1 是函数 y＝2x2＋ax＋1 的驻点，
B．
( x2 )2
( x)e (x)2 ( x2 )e (x2 )2
C．
(x)e (x) 2x(x2 )e (x2 )
D．
【答案】A
【考点】含参变量积分的求导
【解析】由题意，计算得
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d (x) et2 dt e (x)2(x) e (x2 )2 d (x2 )
台
α β α β2
α2 2αβ β2
α 2 2 α β cos β 2
12 21 2 cos 22
3 7
8．微分方程 y″＝sinx 的通解 y 等于（ ）。 A．－sinx＋C1＋C2 B．－sinx＋C1x＋C2 C．－cosx＋C1x＋C2 D．sinx＋C1x＋C2 【答案】B 【考点】微分方程的通解 【解析】方法一：直接利用代入法。B 项，当 y＝－sinx＋C1x＋C2 时， y′＝－cosx＋C1，继续求导得，y″＝sinx，符合题意。n 阶微分方程通解中应含有 n 个任 意常数。A 项通解中实质上只有一个任意常数，而 CD 两项均不满足微分方程 y″＝sinx， 则均不符合。 方法二：由（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，则通过求原函数不定积分得 y′＝－cosx＋C1，再求一次不定积分得 y＝－sinx＋C1x＋C2，B 项符合题意。
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lim sin xபைடு நூலகம்lim 1 lim sin x
x x B 项，极限 x
可化为 x
x
，极限
lim 1 0 x x
为无穷小量；而|sinx|≤1，sinx 为有界函数。因为有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
所以
lim sin x 0 x x
C 项，令 T（x）＝g[f（x）]。因为 T（－x）＝g[f（－x）]＝g[f（x）]，所以
T（－x）＝T（x），所以 g[f（x）]为偶函数。
D 项，令 T（x）＝g[g（x）]。因为 T（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]
＝－g[g（x）]，所以 T（－x）＝－T（x），所以 g[g（x）]为奇函数。
lim xf (x0 ) x0 f (x)
x x0 3．若 f′（x0）存在，则
x x0
（ ）。
A．f′（x0）
B．－x0f′（x0）
C．f（x0）－x0f′（x0）
D．x0f′（x0）
【答案】C
【考点】导数
【解析】原式化简得
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2018 年注册环保工程师《公共基础考试》真题及详解[视频讲解]
单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意）
1．下列等式中不成立的是（ ）。
sin x2
lim
A． x0
x2
1
lim sin x 1 x B． x
lim
xf
(x0 )
x0
f
(x)
台
lim
xf
(x0 )
x0
f
(x0 )
x0
f
(x0 )
x0
f
(x)
x x0
x x0
x x0
x x0
lim f (x0 ) x x0 x0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
lim f (x0 ) x x0 lim x0 f (x) f (x0 )